Задаци са кореном

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Задаци са кореном}
\end{center}

Задаци из домаћег (бројеви као у свесци). Решења из свеске су проверена; где је свеска погрешила, то је означено.

\subsection*{Задатак 11. 2)}
Реши $(1-x)^2 - 5 = 31$.

\begin{enumerate}
  \item $(1-x)^2 = 36$, па $1 - x = 6 \lor 1 - x = -6$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x = -5 \lor x = 7$


\subsection*{Задатак 15}
Нека је $a = \sqrt2 - 2$. Израчунај $A = a + 1 + \sqrt{a^2}$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{a^2} = |a|$.
  \item $\sqrt2 < 2$, па је $a < 0$ и $|a| = -a$.
  \item $A = a + 1 - a = 1$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $A = 1$


\begin{quote}\small\textbf{Исправка.} У свесци пише „$a = \sqrt2 - \sqrt2 = 0$“ и затим $A = 0 + 1 + 0 = 1$. Број $a$ није нула; резултат је случајно исти, јер се $a$ и $|a| = -a$ пониште.\end{quote}

\subsection*{Задатак 16. б)}
Реши $\sqrt{(5-x)^2} = x - 5$.

\begin{enumerate}
  \item $|5 - x| = x - 5$, а то важи тачно кад је $5 - x \le 0$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x \in [5, +\infty)$


\subsection*{Задатак 18}
Израчунај б) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{48}$; $\ $ г) $\sqrt{0{,}64 \cdot 49}$.

\begin{enumerate}
  \item б) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} = \sqrt{3 \cdot 9} \cdot \sqrt{3 \cdot 16} = \sqrt{3 \cdot 3} \cdot \sqrt9 \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36$.
  \item г) $\sqrt{0{,}64} \cdot \sqrt{49} = 0{,}8 \cdot 7 = 5{,}6$.
\end{enumerate}


\begin{quote}\small\textbf{Исправка.} У задатку 18. г) у свесци је међукорак „$\sqrt{0{,}8} \cdot \sqrt7$“; треба $0{,}8 \cdot 7$ (корени су већ израчунати). Резултат $5{,}6$ је тачан.\end{quote}

\subsection*{Задатак 19. б)}
Израчунај $2\sqrt3 \cdot \sqrt2 \cdot 3\sqrt6$.

\begin{enumerate}
  \item $= 2\sqrt6 \cdot 3\sqrt6 = 2 \cdot 3 \cdot 6$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $36$


\subsection*{Задатак 23. в)}
Израчунај $0{,}4\sqrt{\tfrac{98}{125} \cdot \tfrac58}$.

\begin{enumerate}
  \item $\tfrac{98}{125} \cdot \tfrac58 = \tfrac{49}{100}$, па је израз $0{,}4 \cdot \sqrt{0{,}49} = 0{,}4 \cdot 0{,}7$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $0{,}28$


\subsection*{Задатак 25}
Унеси чинилац под корен: г) $5\sqrt{0{,}2}$; $\ $ в) $2\sqrt{\tfrac12}$.

\begin{enumerate}
  \item г) $5\sqrt{0{,}2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{0{,}2} = \sqrt{25 \cdot \tfrac15} = \sqrt5$.
  \item в) $2\sqrt{\tfrac12} = \sqrt4 \cdot \sqrt{\tfrac12} = \sqrt{2}$.
\end{enumerate}


\begin{quote}\small\textbf{Исправка.} У задатку 25. в) у свесци пише „$\sqrt2 \cdot \sqrt{\tfrac12} = \sqrt1 = 1$“. Грешка је у првом кораку: $2 = \sqrt4$, а не $\sqrt2$. Тачан резултат је $\sqrt2$.\end{quote}

\subsection*{Задатак 26. б)}
Израчунај $\sqrt{1 + \tfrac{96}{529}}$.

\begin{enumerate}
  \item $= \sqrt{\tfrac{529 + 96}{529}} = \sqrt{\tfrac{625}{529}} = \sqrt{\tfrac{25^2}{23^2}}$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $\tfrac{25}{23}$


\subsection*{Задатак 27. г)}
Израчунај $\sqrt{80} - 3 - 4\sqrt5$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt5$, па је израз $4\sqrt5 - 3 - 4\sqrt5$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $-3$


\subsection*{Задатак 34}
За $a = 3\sqrt2$ и $b = 2\sqrt3$ израчунај $a^2 + b^2$ и $a^2 - b^2$.

\begin{enumerate}
  \item $a^2 = 9 \cdot 2 = 18$, $\ b^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $a^2 + b^2 = 30$, $\ a^2 - b^2 = 6$


\subsection*{Задатак 36}
Реши једначине: а) $\sqrt{3x} = 6$; б) $\sqrt{\tfrac25 x} = 4$; в) $\sqrt{0{,}25x + 1} = 8$; г) $\sqrt{\tfrac{x-3}{2}} = 1$; д) $3\sqrt x = 6$; ђ) $\tfrac25\sqrt x = 4$; е) $0{,}25\sqrt{x+1} = 8$; ж) $\tfrac{\sqrt x - 3}{2} = 1$.

\begin{enumerate}
  \item а) $3x = 36$, $x = 12$.
  \item б) $\tfrac25 x = 16$, $x = 40$.
  \item в) $0{,}25x + 1 = 64$, $\tfrac14 x = 63$, $x = 252$.
  \item г) $\tfrac{x-3}{2} = 1$, $x = 5$.
  \item д) $\sqrt x = 2$ (или $\sqrt{9x} = 6$), $x = 4$.
  \item ђ) $2\sqrt x = 20$, $\sqrt x = 10$, $x = 100$.
  \item е) $\tfrac14\sqrt{x+1} = 8$, $\sqrt{x+1} = 32$, $x + 1 = 1024$, $x = 1023$.
  \item ж) $\sqrt x - 3 = 2$, $\sqrt x = 5$, $x = 25$.
\end{enumerate}


\subsection*{Задатак 33}
Израчунај д) $\tfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{9}{16}}} - \tfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{16}{25}}}$; $\ $ ђ) $\sqrt{16 \cdot 0{,}25} - \sqrt{\big(\tfrac15 - 1\big)^2}$.

\begin{enumerate}
  \item д) $\tfrac{1}{\sqrt{25/16}} - \tfrac{1}{\sqrt{9/25}} = \tfrac45 - \tfrac53 = \tfrac{12 - 25}{15} = -\tfrac{13}{15}$.
  \item ђ) $\sqrt{16} \cdot \sqrt{\tfrac14} - \big|\tfrac15 - 1\big| = 4 \cdot \tfrac12 - \tfrac45 = \tfrac65$.
\end{enumerate}


\subsection*{Задатак са цифрама}
Нађи цифре $a$ и $b$ тако да је $\sqrt{3\tfrac{a}{16} \cdot 3\tfrac{b}{25}} = 3\tfrac{3}{20}$ (мешовити бројеви).

\begin{enumerate}
  \item $3\tfrac{a}{16} = \tfrac{48 + a}{16}$, $\ 3\tfrac{b}{25} = \tfrac{75 + b}{25}$, $\ 3\tfrac{3}{20} = \tfrac{63}{20}$.
  \item $\sqrt{\tfrac{(48+a)(75+b)}{400}} = \tfrac{63}{20}$, па је $(48 + a)(75 + b) = 63^2 = 3^4 \cdot 7^2 = 3969$.
  \item $48 + a$ је између $48$ и $57$, а $75 + b$ између $75$ и $84$. Једини такав пар чинилаца броја $3969$ је $49 \cdot 81$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $a = 1$, $b = 6$ (једно решење)


\end{document}