Корени — детаљније

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Корени — детаљније}
\end{center}

Ова страна није из свеске: она сабира све о коренима на једном месту и додаје објашњења и примере којих у свесци нема. На крају су задаци за вежбу са решењима.

\section*{1. Шта је корен и зашто је $\sqrt a \ge 0$}

Једначина $x^2 = 9$ има два решења, $3$ и $-3$. Да би „корен из $9$“ био један број, договорено је да $\sqrt9$ означава ненегативно решење: $\sqrt9 = 3$. Друго решење се пише $-\sqrt9 = -3$.

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
Запис & Значење & Пример \\
\midrule
$\sqrt a$ & ненегативан број чији је квадрат $a$ (само за $a \ge 0$) & $\sqrt{25} = 5$ \\
$x^2 = a$ & једначина; за $a > 0$ има два решења $\pm\sqrt a$ & $x^2 = 25 \iff x = \pm 5$ \\
$\sqrt{a^2}$ & $|a|$ — не увек $a$ & $\sqrt{(-5)^2} = 5$ \\
$(\sqrt a)^2$ & $a$ (за $a \ge 0$) & $(\sqrt7)^2 = 7$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\section*{2. Процена корена}

Ако $a$ није квадрат целог броја, $\sqrt a$ је између два узастопна цела броја: тражимо квадрате између којих је $a$.

\begin{itemize}
  \item $16 < 20 < 25$, па је $4 < \sqrt{20} < 5$.
  \item $49 < 50 < 64$, па је $7 < \sqrt{50} < 8$ (и то врло близу $7$, јер је $50$ близу $49$).
\end{itemize}

Децимале се добијају истим поступком — квадрирањем проба:

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
Проба & Квадрат & Закључак \\
\midrule
$1{,}4$ & $1{,}96$ & мање од $2$ \\
$1{,}5$ & $2{,}25$ & веће од $2$, па $1{,}4 < \sqrt2 < 1{,}5$ \\
$1{,}41$ & $1{,}9881$ & мање од $2$ \\
$1{,}42$ & $2{,}0164$ & веће од $2$, па $1{,}41 < \sqrt2 < 1{,}42$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Тако се добија $\sqrt2 = 1{,}41421\ldots$ Цифре никад не почињу да се понављају, јер је $\sqrt2$ ирационалан.

\section*{3. Поређење корена}

За $a, b \ge 0$ важи: $a < b \iff \sqrt a < \sqrt b$. Корени се пореде тако што се упореде бројеви под кореном; ако испред корена стоји чинилац, прво га унесемо под корен (или квадрирамо оба броја, јер су позитивни).

\subsection*{Пример}
Шта је веће: $3\sqrt2$ или $2\sqrt3$?

\begin{enumerate}
  \item $3\sqrt2 = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$, $\ 2\sqrt3 = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
  \item $18 > 12$, па је $\sqrt{18} > \sqrt{12}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $3\sqrt2 > 2\sqrt3$


\subsection*{Пример}
Упореди $2\sqrt7$ и $5$.

\begin{enumerate}
  \item $2\sqrt7 = \sqrt{28}$, а $5 = \sqrt{25}$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $2\sqrt7 > 5$


\section*{4. Извлачење и уношење чиниоца}

Извлачење: број под кореном растави тако да један чинилац буде потпун квадрат, па његов корен изађе испред: $\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt b$ (за $a \ge 0$ просто $a\sqrt b$).

\begin{itemize}
  \item $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ — узми највећи квадрат који дели $72$; са $\sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ посао није завршен, јер се $\sqrt{18}$ може даље упростити.
  \item $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt3$
  \item $\sqrt{0{,}08} = \sqrt{\tfrac{8}{100}} = \tfrac{2\sqrt2}{10} = \tfrac{\sqrt2}{5}$
\end{itemize}

Уношење (обрнуто): позитиван чинилац испред корена улази под корен као квадрат: $5\sqrt2 = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.

\section*{5. Сабирање и одузимање}

Сабирају се само „исти“ корени, као слична слова у алгебри: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$ (као $3x + 5x = 8x$). Различити корени се не сабирају: $\sqrt2 + \sqrt3$ остаје тако. Зато прво извуци чиниоце — често се тек тада појаве исти корени.

\subsection*{Пример}
Упрости $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{75}$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\ \sqrt{27} = 3\sqrt3$, $\ \sqrt{75} = 5\sqrt3$.
  \item $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 5\sqrt3 = 0 \cdot \sqrt3$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $0$


\section*{6. Множење: квадрат збира и разлика квадрата}

Формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ важе и кад су $a$, $b$ корени.

\begin{itemize}
  \item $(1 + \sqrt2)^2 = 1 + 2\sqrt2 + 2 = 3 + 2\sqrt2$
  \item $(\sqrt5 - \sqrt3)^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$
  \item $(\sqrt5 - \sqrt3)(\sqrt5 + \sqrt3) = 5 - 3 = 2$ — корени нестају.
\end{itemize}

\section*{7. Рационалисање}

Циљ је да у имениоцу не остане корен. Два случаја:

\begin{itemize}
  \item Један корен: множи са истим кореном. $\ \tfrac{6}{\sqrt3} = \tfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$.
  \item Збир или разлика: множи „супротним“ изразом, па се употреби разлика квадрата. $\ \tfrac{4}{\sqrt5 + 1} = \tfrac{4(\sqrt5 - 1)}{5 - 1} = \sqrt5 - 1$.
\end{itemize}

\section*{8. $\sqrt{x^2} = |x|$ са параметром}

Кад је под кореном квадрат израза са непознатом, резултат зависи од знака израза.

\subsection*{Пример}
Упрости $\sqrt{(a-3)^2} + a$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{(a-3)^2} = |a - 3|$.
  \item За $a \ge 3$: $\ (a - 3) + a = 2a - 3$.
  \item За $a < 3$: $\ (3 - a) + a = 3$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $2a - 3$ за $a \ge 3$; $\ 3$ за $a < 3$


\section*{9. Честе грешке}

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
Погрешно & Тачно & Зашто \\
\midrule
$\sqrt9 = \pm 3$ & $\sqrt9 = 3$ & корен је по дефиницији ненегативан \\
$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$ & $\sqrt{25} = 5$ & корен збира није збир корена \\
$\sqrt{(-4)^2} = -4$ & $\sqrt{(-4)^2} = 4 = |-4|$ & $\sqrt{x^2} = |x|$ \\
$2\sqrt5 = \sqrt{10}$ & $2\sqrt5 = \sqrt{20}$ & чинилац улази под корен као квадрат \\
$\sqrt2 + \sqrt3 = \sqrt5$ & не може се упростити & сабирају се само исти корени \\
$\sqrt{-4} = -2$ & није дефинисано & ниједан квадрат није негативан \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\section*{Задаци за вежбу}

\subsection*{Задатак 5}
Између која два цела броја је $\sqrt{90}$?

\noindent\textbf{Решење:} $9 < \sqrt{90} < 10$, јер $81 < 90 < 100$


\subsection*{Задатак 6}
Упрости $\sqrt{98}$ и $\sqrt{180}$.

\noindent\textbf{Решење:} $7\sqrt2$; $\ 6\sqrt5$


\subsection*{Задатак 7}
Упореди $4\sqrt3$ и $3\sqrt5$.

\noindent\textbf{Решење:} $\sqrt{48} > \sqrt{45}$, па је $4\sqrt3 > 3\sqrt5$


\subsection*{Задатак 8}
Израчунај $\sqrt{50} - \sqrt{18} + \sqrt8$.

\noindent\textbf{Решење:} $5\sqrt2 - 3\sqrt2 + 2\sqrt2 = 4\sqrt2$


\subsection*{Задатак 9}
Израчунај $(2 - \sqrt3)^2$ и $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3)$.

\noindent\textbf{Решење:} $7 - 4\sqrt3$; $\ 1$


\subsection*{Задатак 10}
Рационалиши $\tfrac{10}{\sqrt5}$ и $\tfrac{2}{\sqrt3 - 1}$.

\noindent\textbf{Решење:} $2\sqrt5$; $\ \sqrt3 + 1$


\subsection*{Задатак 11}
Реши $x^2 = 18$ и $\sqrt{x} = \tfrac35$.

\noindent\textbf{Решење:} $x = \pm 3\sqrt2$; $\ x = \tfrac{9}{25}$


\subsection*{Задатак 12}
Упрости $\sqrt{(2 - \sqrt5)^2}$.

\noindent\textbf{Решење:} $\sqrt5 > 2$, па је $|2 - \sqrt5| = \sqrt5 - 2$


\end{document}