Реални бројеви · свеска

Рационалисање имениоца

Рационалисање је ослобађање имениоца од корена. Разломак множимо са \(1\) записаним као \(\tfrac{\sqrt a}{\sqrt a}\), јер је \(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\). У свесци: „некултурно је оставити корен у имениоцу“.

\[\frac{b}{\sqrt a} = \frac{b}{\sqrt a} \cdot \frac{\sqrt a}{\sqrt a} = \frac{b\sqrt a}{a}\]

\(\tfrac{3}{\sqrt2}\) \(= \tfrac{3\sqrt2}{2}\)
\(\tfrac{4}{\sqrt2}\) \(= \tfrac{4\sqrt2}{2}\) \(= 2\sqrt2\); или краће, \(4 = 2 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt2\), па \(\tfrac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2\).
\(7 = \sqrt7 \cdot \sqrt7\), па је \(\tfrac{7}{\sqrt7} = \sqrt7\).
\(\tfrac{12}{\sqrt2}\) \(= \tfrac{12\sqrt2}{2}\) \(= 6\sqrt2\)
\(\tfrac{87}{\sqrt{29}}\) \(= \tfrac{3 \cdot 29}{\sqrt{29}}\) \(= 3\sqrt{29}\)
\(\sqrt{1\tfrac15}\) \(= \sqrt{\tfrac65}\) \(= \tfrac{\sqrt6}{\sqrt5}\) \(= \tfrac{\sqrt{30}}{5}\)

Збир у имениоцу

Ако је у имениоцу збир или разлика, множи се „супротним“ изразом, јер је \((1-\sqrt3)(1+\sqrt3) = 1 - 3 = -2\):

\[\frac{2}{1-\sqrt3} = \frac{2(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)} = \frac{2(1+\sqrt3)}{-2} = -1-\sqrt3\]

Примери

Задатак 28. Израчунај \(\tfrac{3\sqrt8 - 2\sqrt2 - 4\sqrt{72}}{\sqrt{32}}\).

\(\sqrt8 = 2\sqrt2\), \(\sqrt{72} = 6\sqrt2\), \(\sqrt{32} = 4\sqrt2\).
\(= \tfrac{6\sqrt2 - 2\sqrt2 - 24\sqrt2}{4\sqrt2}\) \(= \tfrac{\sqrt2(6 - 2 - 24)}{4\sqrt2}\) \(= \tfrac{-20}{4}\)

Решење\(-5\)

Задатак 31. Израчунај \(\tfrac{15}{\sqrt5} - 2\sqrt5\) и \(\tfrac{28}{\sqrt7} - 7\sqrt7\).

\(\tfrac{15}{\sqrt5}\) \(= \tfrac{3 \cdot 5}{\sqrt5}\) \(= 3\sqrt5\), па је резултат \(3\sqrt5 - 2\sqrt5 = \sqrt5\).
\(\tfrac{28}{\sqrt7}\) \(= \tfrac{4 \cdot 7}{\sqrt7}\) \(= 4\sqrt7\), па је резултат \(4\sqrt7 - 7\sqrt7 = -3\sqrt7\).

Задатак 32. Израчунај б) \(\tfrac{\sqrt{12} - \sqrt6}{\sqrt3}\); \(\ \) в) \(\tfrac{\sqrt6 - \sqrt{24} + \sqrt{150}}{\sqrt{12}} \cdot \sqrt2\).

б) \(\sqrt{12} = 2\sqrt3\), \(\sqrt6 = \sqrt2 \cdot \sqrt3\): \(\ \tfrac{\sqrt3(2 - \sqrt2)}{\sqrt3}\) \(= 2 - \sqrt2\).
в) \(\tfrac{\sqrt2}{\sqrt{12}}\) \(= \tfrac{1}{\sqrt6}\), па је израз \(\tfrac{\sqrt6 - 2\sqrt6 + 5\sqrt6}{\sqrt6}\) \(= 1 - 2 + 5\) \(= 4\).

Напомене уз запис из свеске

Допуна. Пример \(\tfrac{2}{1 - \sqrt3}\) у свесци је само записан са знаком питања; решење је додато.
Запис. У задатку 28 у свесци пише „\(164\sqrt2\)“; мисли се на \(4 \cdot 6\sqrt2 = 24\sqrt2\), што је и коришћено у наставку. Поставка другог дела задатка 31 није записана; из рачуна „\(\tfrac{28}{\sqrt7} = 4\sqrt7 - 7\sqrt7\)“ прочитана је као \(\tfrac{28}{\sqrt7} - 7\sqrt7\).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Рационалисање имениоца}
\end{center}

Рационалисање је ослобађање имениоца од корена. Разломак множимо са $1$ записаним као $\tfrac{\sqrt a}{\sqrt a}$, јер је $\sqrt a \cdot \sqrt a = a$. У свесци: „некултурно је оставити корен у имениоцу“.

\[
  \frac{b}{\sqrt a} = \frac{b}{\sqrt a} \cdot \frac{\sqrt a}{\sqrt a} = \frac{b\sqrt a}{a}
\]

\begin{itemize}
  \item $\tfrac{3}{\sqrt2} = \tfrac{3\sqrt2}{2}$
  \item $\tfrac{4}{\sqrt2} = \tfrac{4\sqrt2}{2} = 2\sqrt2$; или краће, $4 = 2 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt2$, па $\tfrac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2$.
  \item $7 = \sqrt7 \cdot \sqrt7$, па је $\tfrac{7}{\sqrt7} = \sqrt7$.
  \item $\tfrac{12}{\sqrt2} = \tfrac{12\sqrt2}{2} = 6\sqrt2$
  \item $\tfrac{87}{\sqrt{29}} = \tfrac{3 \cdot 29}{\sqrt{29}} = 3\sqrt{29}$
  \item $\sqrt{1\tfrac15} = \sqrt{\tfrac65} = \tfrac{\sqrt6}{\sqrt5} = \tfrac{\sqrt{30}}{5}$
\end{itemize}

\section*{Збир у имениоцу}

Ако је у имениоцу збир или разлика, множи се „супротним“ изразом, јер је $(1-\sqrt3)(1+\sqrt3) = 1 - 3 = -2$:

\[
  \frac{2}{1-\sqrt3} = \frac{2(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)} = \frac{2(1+\sqrt3)}{-2} = -1-\sqrt3
\]

\section*{Примери}

\subsection*{Задатак 28}
Израчунај $\tfrac{3\sqrt8 - 2\sqrt2 - 4\sqrt{72}}{\sqrt{32}}$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt8 = 2\sqrt2$, $\sqrt{72} = 6\sqrt2$, $\sqrt{32} = 4\sqrt2$.
  \item $= \tfrac{6\sqrt2 - 2\sqrt2 - 24\sqrt2}{4\sqrt2} = \tfrac{\sqrt2(6 - 2 - 24)}{4\sqrt2} = \tfrac{-20}{4}$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $-5$


\subsection*{Задатак 31}
Израчунај $\tfrac{15}{\sqrt5} - 2\sqrt5$ и $\tfrac{28}{\sqrt7} - 7\sqrt7$.

\begin{enumerate}
  \item $\tfrac{15}{\sqrt5} = \tfrac{3 \cdot 5}{\sqrt5} = 3\sqrt5$, па је резултат $3\sqrt5 - 2\sqrt5 = \sqrt5$.
  \item $\tfrac{28}{\sqrt7} = \tfrac{4 \cdot 7}{\sqrt7} = 4\sqrt7$, па је резултат $4\sqrt7 - 7\sqrt7 = -3\sqrt7$.
\end{enumerate}


\subsection*{Задатак 32}
Израчунај б) $\tfrac{\sqrt{12} - \sqrt6}{\sqrt3}$; $\ $ в) $\tfrac{\sqrt6 - \sqrt{24} + \sqrt{150}}{\sqrt{12}} \cdot \sqrt2$.

\begin{enumerate}
  \item б) $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt6 = \sqrt2 \cdot \sqrt3$: $\ \tfrac{\sqrt3(2 - \sqrt2)}{\sqrt3} = 2 - \sqrt2$.
  \item в) $\tfrac{\sqrt2}{\sqrt{12}} = \tfrac{1}{\sqrt6}$, па је израз $\tfrac{\sqrt6 - 2\sqrt6 + 5\sqrt6}{\sqrt6} = 1 - 2 + 5 = 4$.
\end{enumerate}


\end{document}