Реални бројеви · свеска

Правила рачунања са коренима

Закони рачунања

Закон	Сабирање	Множење
комутативност	\(a + b = b + a\)	\(a \cdot b = b \cdot a\)
асоцијативност	\((a+b)+c = a+(b+c)\)	\((a \cdot b) \cdot c\) \(= a \cdot (b \cdot c)\)
дистрибутивност	\(a(b + c) = ab + ac\)

Одузимање и дељење нису комутативни: \(a - b \ne b - a\) и \(a : b \ne b : a\) (осим у посебним случајевима).

Корен производа и количника

\[\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b \quad (a, b \ge 0), \qquad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} \quad (a \ge 0,\ b > 0)\]

За збир и разлику нема таквог правила: у општем случају \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt a + \sqrt b\) и \(\sqrt{a-b} \ne \sqrt a - \sqrt b\) (нпр. \(\sqrt{9+16} = 5\), а \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 7\)).

Извлачење испред корена

\(\sqrt7 \cdot \sqrt5 = \sqrt{35}\)
\(\sqrt{48}\) \(= \sqrt{16 \cdot 3}\) \(= \sqrt{16} \cdot \sqrt3\) \(= 4\sqrt3\)
\(\sqrt{128}\) \(= \sqrt{64 \cdot 2}\) \(= 8\sqrt2\)
\(\sqrt2 + \sqrt8\) \(= \sqrt2 + \sqrt{4 \cdot 2}\) \(= \sqrt2 + 2\sqrt2\) \(= 3\sqrt2\)
\(\sqrt{1764}\) \(= \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2}\) \(= 2 \cdot 3 \cdot 7\) \(= 42\)

Примери

Задатак 1. Реши \(\sqrt{3x} = 6\) и \(\tfrac{\sqrt x - 3}{2} = 1\).

\(\sqrt{3x} = \sqrt{36}\), па \(3x = 36\) и \(x = 12\).
\(\sqrt x - 3 = 2\), \(\sqrt x = 5\), \(x = 25\).

Решење\(x = 12\); \(\ x = 25\)

Задатак 2. Израчунај \(\sqrt{2{,}25 \cdot 3\tfrac1{16} \cdot 121 \cdot 10000}\).

\(= \sqrt{\tfrac{225}{100}} \cdot \sqrt{\tfrac{49}{16}} \cdot \sqrt{121} \cdot \sqrt{10000}\)
\(= \tfrac{15}{10} \cdot \tfrac74 \cdot 11 \cdot 100\) \(= \tfrac{21}{8} \cdot 1100\)

Решење\(2887{,}5\)

Задатак 3. Израчунај \(\tfrac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{1{,}6}}\).

\(\tfrac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{1{,}6}}\) \(= \sqrt{\tfrac{0{,}9}{1{,}6}}\) \(= \sqrt{\tfrac{9}{16}}\) \(= \tfrac{\sqrt9}{\sqrt{16}}\) \(= \tfrac34\)

Напомене уз запис из свеске

Грешке у свесци. Код \(\sqrt{2{,}25 \cdot 3\tfrac1{16} \cdots}\) пише \(\sqrt{\tfrac{48}{16}}\); мешовити број је \(3\tfrac1{16} = \tfrac{49}{16}\), што је и коришћено у следећем реду (\(\tfrac74\)). Рачун у свесци није довршен; резултат је \(2887{,}5\). Код \(\tfrac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{1{,}6}}\) пише „\(\sqrt3 : \sqrt4\)“ уместо \(\sqrt9 : \sqrt{16}\); крајњи резултат \(\tfrac34\) је тачан.
Прочитано. Поставка другог примера у свесци гласи „\(\frac{\sqrt x - 3}{2} = 1\)“ (корен само над \(x\)), што се види и из следећег реда \(\sqrt x - 3 = 2\).

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Правила рачунања са коренима}
\end{center}

\section*{Закони рачунања}

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
Закон & Сабирање & Множење \\
\midrule
комутативност & $a + b = b + a$ & $a \cdot b = b \cdot a$ \\
асоцијативност & $(a+b)+c = a+(b+c)$ & $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ \\
дистрибутивност & $a(b + c) = ab + ac$ &  \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Одузимање и дељење нису комутативни: $a - b \ne b - a$ и $a : b \ne b : a$ (осим у посебним случајевима).

\section*{Корен производа и количника}

\[
  \sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b \quad (a, b \ge 0), \qquad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} \quad (a \ge 0,\ b > 0)
\]

За збир и разлику нема таквог правила: у општем случају $\sqrt{a+b} \ne \sqrt a + \sqrt b$ и $\sqrt{a-b} \ne \sqrt a - \sqrt b$ (нпр. $\sqrt{9+16} = 5$, а $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$).

\section*{Извлачење испред корена}

\begin{itemize}
  \item $\sqrt7 \cdot \sqrt5 = \sqrt{35}$
  \item $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt3 = 4\sqrt3$
  \item $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt2$
  \item $\sqrt2 + \sqrt8 = \sqrt2 + \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt2 + 2\sqrt2 = 3\sqrt2$
  \item $\sqrt{1764} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$
\end{itemize}

\section*{Примери}

\subsection*{Задатак 1}
Реши $\sqrt{3x} = 6$ и $\tfrac{\sqrt x - 3}{2} = 1$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{3x} = \sqrt{36}$, па $3x = 36$ и $x = 12$.
  \item $\sqrt x - 3 = 2$, $\sqrt x = 5$, $x = 25$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x = 12$; $\ x = 25$


\subsection*{Задатак 2}
Израчунај $\sqrt{2{,}25 \cdot 3\tfrac1{16} \cdot 121 \cdot 10000}$.

\begin{enumerate}
  \item $= \sqrt{\tfrac{225}{100}} \cdot \sqrt{\tfrac{49}{16}} \cdot \sqrt{121} \cdot \sqrt{10000}$
  \item $= \tfrac{15}{10} \cdot \tfrac74 \cdot 11 \cdot 100 = \tfrac{21}{8} \cdot 1100$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $2887{,}5$


\subsection*{Задатак 3}
Израчунај $\tfrac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{1{,}6}}$.

\begin{enumerate}
  \item $\tfrac{\sqrt{0{,}9}}{\sqrt{1{,}6}} = \sqrt{\tfrac{0{,}9}{1{,}6}} = \sqrt{\tfrac{9}{16}} = \tfrac{\sqrt9}{\sqrt{16}} = \tfrac34$
\end{enumerate}


\end{document}