Једначина \(x^2 = a\) и квадратни корен

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Једначина $x^2 = a$ и квадратни корен}
\end{center}

\section*{Једначина $x^2 = a$}

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
\toprule
 & Решења \\
\midrule
$a < 0$ & нема решења, јер је $x^2 \ge 0$ \\
$a = 0$ & једно решење: $x = 0$ \\
$a > 0$ & два решења у $\mathbb R$: $x = \sqrt a$ и $x = -\sqrt a$, тј. $x = \pm\sqrt a$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

Пример: $x^2 = 1 \iff x = 1 \lor x = -1$; $\ x^2 = 9 \iff x = \pm 3$; $\ x^2 = \tfrac14 = 0{,}25 \iff x = \pm\tfrac12$.

\noindent\textbf{Квадратни корен.} броја $a \ge 0$ је ненегативан број $\sqrt a$ чији је квадрат $a$: $\ \sqrt a \ge 0$ и $(\sqrt a)^2 = a$. За $a < 0$ корен није дефинисан.


\begin{itemize}
  \item $\sqrt0 = 0$, $\ \sqrt9 = 3$, а $\sqrt9 \ne -3$, иако је $(-3)^2 = 9$.
  \item $(\sqrt a)^2 = a$ и $(-\sqrt a)^2 = a$: оба броја решавају $x^2 = a$, а корен је позитивно решење.
  \item $\sqrt{x^2} = |x|$. На пример $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|$.
\end{itemize}

\section*{Корен као страница квадрата}

Квадрат површине $1$ има страницу $1$. Квадрат површине $2$ има страницу $a$ са $a^2 = 2$, па је $a = \sqrt2$ (решење $-\sqrt2$ одбацујемо, јер је дужина позитивна). Такав квадрат се конструише у квадрату странице $2$: темена су средишта страница, а површина је половина од $4$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.6, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (2,2);
  \coordinate (D) at (0,2);
  \coordinate (K) at (1,0);
  \coordinate (L) at (2,1);
  \coordinate (M) at (1,2);
  \coordinate (N) at (0,1);
  \draw[] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (K) -- (L) -- (M) -- (N) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (K) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (N) -- (L);
  \draw ($(A)!0.5!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(A)!0.5!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \draw ($(K)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(K)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(B)!0.5!(L)!3pt!90:(L)$) -- ($(B)!0.5!(L)!3pt!-90:(L)$);
  \draw ($(L)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(L)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \node[above left, red!70!black] at ($(K)!0.5!(L)$) {$\sqrt2$};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,K,L,M,N} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (K) {$K$};
  \node[right] at (L) {$L$};
  \node[above] at (M) {$M$};
  \node[left] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small Уписани квадрат има површину $2$, па му је страница $\sqrt2$.\end{center}

\section*{Примери}

\subsection*{Задатак 1}
Реши једначину $\big(3 - \tfrac{x}{3}\big)^2 = 9$.

\begin{enumerate}
  \item $3 - \tfrac x3 = 3 \lor 3 - \tfrac x3 = -3$
  \item $\tfrac x3 = 0 \lor \tfrac x3 = 6$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x = 0 \lor x = 18$


\subsection*{Задатак 2}
Реши једначину $27x^2 = 12$.

\begin{enumerate}
  \item $x^2 = \tfrac{12}{27} = \tfrac49$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x = \pm\tfrac23$


\subsection*{Задатак 3}
Израчунај $\sqrt{\tfrac{144}{289}}$, $\sqrt{1{,}44}$ и $\sqrt{0{,}16}$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt{\tfrac{144}{289}} = \tfrac{12}{17}$, јер је $12^2 = 144$ и $17^2 = 289$.
  \item $\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\tfrac{144}{100}} = \tfrac{12}{10} = 1{,}2$.
  \item $\sqrt{0{,}16} = 0{,}4$.
\end{enumerate}


\subsection*{Задатак 4}
Реши: $\sqrt x = 7$; $\ \sqrt x = \tfrac23$; $\ \sqrt x = 0$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt x = c \ (c \ge 0) \iff x = c^2$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x = 49$; $\ x = \tfrac49$; $\ x = 0$


\subsection*{Задатак 5}
Упрости $\sqrt{(1-\sqrt2)^2}$, $\sqrt{(\sqrt7-\sqrt5)^2}$ и $\sqrt{(\sqrt5-\sqrt7)^2}$.

\begin{enumerate}
  \item $\sqrt2 > 1$ (јер је $2 > 1$), па је $1 - \sqrt2 < 0$ и $\sqrt{(1-\sqrt2)^2} = |1-\sqrt2| = \sqrt2 - 1$.
  \item $\sqrt7 > \sqrt5$, па је $\sqrt{(\sqrt7-\sqrt5)^2} = \sqrt7 - \sqrt5$.
  \item $\sqrt{(\sqrt5-\sqrt7)^2} = |\sqrt5 - \sqrt7| = \sqrt7 - \sqrt5$.
\end{enumerate}


\end{document}