Реални бројеви · свеска

Квадрат рационалног броја

\(x^2 \ge 0\) за сваки број \(x\), и \(x^2 = 0 \iff x = 0\).
\(|x|^2 = x^2\), \(\ (-x)^2 = x^2\).

Поређење \(x\) и \(x^2\)

Ако је	онда је
\(0 < x < 1\)	\(0 < x^2 < 1\) и \(x^2 < x\)
\(x \ge 1\)	\(x^2 \ge 1\) и \(x^2 \ge x\)
\(x < 0\)	\(x^2 > 0 > x\), дакле \(x^2 > x\)

Поређење квадрата

Ако је \(0 \le y < x\), онда је \(y^2 < x^2\) (нпр. \(0{,}5^2 < 0{,}6^2\)).
Ако је \(x < y \le 0\), онда је \(x^2 > y^2\): већи негативан број има мањи квадрат (нпр. \((-3)^2 > (-2)^2\)).

Напомене уз запис из свеске

Запис. У свесци стоји „\(x < -1 \Rightarrow x^2 > x\)“. То је тачно, али важи и за сваки негативан \(x\) (и за \(x > 1\)); овде је наведен општији случај.
Ознаке. Уз поређење у свесци пише „\(x, y > 0\): \(x > y \Rightarrow x^2 > y^2\)“ и „\(x, y < 0\): \(x > y \Rightarrow y^2 > x^2\)“; то је исто што и два правила изнад.

LaTeX извор (pdflatex, TikZ скица)

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Реални бројеви} \\[2pt]
  {\small Квадрат рационалног броја}
\end{center}

\begin{itemize}
  \item $x^2 \ge 0$ за сваки број $x$, и $x^2 = 0 \iff x = 0$.
  \item $|x|^2 = x^2$, $\ (-x)^2 = x^2$.
\end{itemize}

\section*{Поређење $x$ и $x^2$}

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
\toprule
Ако је & онда је \\
\midrule
$0 < x < 1$ & $0 < x^2 < 1$ и $x^2 < x$ \\
$x \ge 1$ & $x^2 \ge 1$ и $x^2 \ge x$ \\
$x < 0$ & $x^2 > 0 > x$, дакле $x^2 > x$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\section*{Поређење квадрата}

\begin{itemize}
  \item Ако је $0 \le y < x$, онда је $y^2 < x^2$ (нпр. $0{,}5^2 < 0{,}6^2$).
  \item Ако је $x < y \le 0$, онда је $x^2 > y^2$: већи негативан број има мањи квадрат (нпр. $(-3)^2 > (-2)^2$).
\end{itemize}

\end{document}