Апсолутна вредност

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Апсолутна вредност} \\[2pt]
  {\small Апсолутна вредност}
\end{center}

\noindent\textbf{Апсолутна вредност.} броја $x$ је његово растојање од нуле на бројевној правој: $|x| = x$ ако је $x \ge 0$, а $|x| = -x$ ако је $x < 0$. Зато је увек $|x| \ge 0$.


\[
  |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
\]

Слично, $|x - a|$ је растојање тачака $x$ и $a$ на бројевној правој.

Ознаке: $\lor$ значи „или“, $\land$ значи „и“.

\section*{Једначине}

Ако је $c > 0$, из $|A| = c$ следи $A = c \lor A = -c$. Ако је $c = 0$, онда је $A = 0$. Ако је $c < 0$, једначина нема решења, јер апсолутна вредност није негативна.

\subsection*{Пример а)}
Реши једначину $|x-3| = 2$.

\begin{enumerate}
  \item $x - 3 = 2 \lor x - 3 = -2$
  \item $x = 5 \lor x = 1$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x \in \{1, 5\}$


\subsection*{Пример}
Реши једначину $\big||x+2| - 2\big| = 6$.

\begin{enumerate}
  \item $|x+2| - 2 = 6 \lor |x+2| - 2 = -6$
  \item $|x+2| = 8 \lor |x+2| = -4$; друга једначина нема решења.
  \item $x + 2 = 8 \lor x + 2 = -8$, тј. $x = 6 \lor x = -10$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x \in \{-10, 6\}$


\section*{Неједначине}

За $c > 0$: $|A| < c \iff -c < A < c$, а $|A| > c \iff A < -c \lor A > c$.

\subsection*{Пример б)}
Реши неједначину $|x| < 2$.

\begin{enumerate}
  \item $x < 2 \land x > -2$, тј. $-2 < x < 2$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x \in (-2, 2)$


Запис интервала: округла заграда значи да крај не припада скупу, угласта да припада. На пример $-2 < x \le 2 \iff x \in (-2, 2]$.

\section*{Израз са две апсолутне вредности}

Свака апсолутна вредност се „отвара“ на два начина, у зависности од знака израза унутра. Тачке у којима се знак мења деле бројевну праву на интервале, и на сваком интервалу израз се пише без апсолутних вредности.

\subsection*{Пример}
Упрости израз $|a-3| - |a-2|$.

\begin{enumerate}
  \item $|a-3| = a-3$ за $a \ge 3$, а $|a-3| = 3-a$ за $a < 3$.
  \item $|a-2| = a-2$ за $a \ge 2$, а $|a-2| = 2-a$ за $a < 2$.
  \item I: $a < 2$: $\ (3-a) - (2-a) = 1$.
  \item II: $2 \le a < 3$: $\ (3-a) - (a-2) = 5 - 2a$.
  \item III: $a \ge 3$: $\ (a-3) - (a-2) = -1$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $|a-3| - |a-2| = 1$ за $a < 2$; $\ 5-2a$ за $2 \le a < 3$; $\ -1$ за $a \ge 3$.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (p0) at (2,0);
  \coordinate (p1) at (3,0);
  \draw[thick] (0,0) -- (5,0);
  \node[below] at ($(2,0)!0!(2,0)$) {$2$};
  \node[below] at ($(3,0)!0!(3,0)$) {$3$};
  \node[above, red!70!black] at ($(0,0)!0.5!(2,0)$) {$I$};
  \node[above, red!70!black] at ($(2,0)!0.5!(3,0)$) {$II$};
  \node[above, red!70!black] at ($(3,0)!0.5!(5,0)$) {$III$};
  \foreach \pt in {p0,p1} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{center}\small Тачке 2 и 3 деле праву на три интервала.\end{center}

\subsection*{Пример}
Реши неједначину $\tfrac12|x-2| + \tfrac14|x+1| \le 3$.

\begin{enumerate}
  \item Множимо са $4$: $2|x-2| + |x+1| \le 12$. Тачке промене знака су $-1$ и $2$.
  \item I: $x < -1$: $\ 2(2-x) - (x+1) \le 12$, тј. $3 - 3x \le 12$, па $x \ge -3$; решења $x \in [-3, -1)$.
  \item II: $-1 \le x < 2$: $\ 2(2-x) + (x+1) \le 12$, тј. $5 - x \le 12$, па $x \ge -7$; цео интервал $[-1, 2)$.
  \item III: $x \ge 2$: $\ 2(x-2) + (x+1) \le 12$, тј. $3x - 3 \le 12$, па $x \le 5$; решења $x \in [2, 5]$.
  \item Унија решења: $[-3,-1) \cup [-1,2) \cup [2,5]$, тј. $[-3, 5]$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $x \in [-3, 5]$


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (p0) at (-1,0);
  \coordinate (p1) at (2,0);
  \draw[thick] (-3,0) -- (4,0);
  \node[below] at ($(-1,0)!0!(-1,0)$) {$-1$};
  \node[below] at ($(2,0)!0!(2,0)$) {$2$};
  \node[above, red!70!black] at ($(-3,0)!0.5!(-1,0)$) {$I$};
  \node[above, red!70!black] at ($(-1,0)!0.5!(2,0)$) {$II$};
  \node[above, red!70!black] at ($(2,0)!0.5!(4,0)$) {$III$};
  \foreach \pt in {p0,p1} \fill (\pt) circle (1.4pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}