Логички задаци

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подсетник из 6. разреда} \\[2pt]
  {\small Логички задаци}
\end{center}

\subsection*{Куглице}
У кутији је $100$ куглица: $28$ црвених, $20$ зелених, $12$ жутих, $20$ плавих, $10$ белих и $10$ црних. Колико најмање куглица треба извући насумице да би међу њима сигурно било $15$ исте боје?

\begin{enumerate}
  \item Најгори случај: извучемо што више куглица, а да ниједне боје нема $15$.
  \item Од боја са бар $15$ куглица (црвене, зелене, плаве) узмемо по $14$: $3 \cdot 14 = 42$.
  \item Остале боје узмемо целе: $12 + 10 + 10 = 32$.
  \item Укупно $42 + 32 = 74$ куглице без $15$ исте боје; следећа куглица мора да буде црвена, зелена или плава и даје петнаесту.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $75$ куглица


\subsection*{Кофе}
Дате су кофе од $3\,\text{l}$ и $7\,\text{l}$ и чесма. Како одмерити тачно $5\,\text{l}$?

\begin{enumerate}
  \item Стања (кофа $3\,\text{l}$, кофа $7\,\text{l}$) после сваког корака:
\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{tabular}{@{}lll@{}}
\toprule
Корак & $3\,\text{l}$ & $7\,\text{l}$ \\
\midrule
почетак & 0 & 0 \\
напуни мању & 3 & 0 \\
преспи у већу & 0 & 3 \\
напуни мању & 3 & 3 \\
преспи у већу & 0 & 6 \\
напуни мању & 3 & 6 \\
доспи већу до врха & 2 & 7 \\
испразни већу & 2 & 0 \\
преспи у већу & 0 & 2 \\
напуни мању & 3 & 2 \\
преспи у већу & 0 & 5 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Топови}
На колико начина можемо да поставимо два топа, бели и црни, на шаховску таблу тако да се нападају?

\begin{enumerate}
  \item Бели топ може на било које од $64$ поља.
  \item Црни топ мора бити у истом реду или колони: $7 + 7 = 14$ поља.
  \item $64 \cdot 14 = 896$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $896$ начина (ако су топови исте боје, сваки распоред је бројан два пута, па их је $448$)


\subsection*{Правоугаоници}
Колико има правоугаоника на шаховској табли $8 \times 8$ (странице дуж линија табле)?

\begin{enumerate}
  \item Табла има $9 \cdot 9 = 81$ чвор (пресек линија). Правоугаоник је одређен са два наспрамна темена.
  \item Прво теме: $81$ начин. Наспрамно теме не сме бити у истом реду ни колони: $81 - 9 - 9 + 1 = 64$ чвора.
  \item Сваки правоугаоник је тако бројан $4$ пута (два пара наспрамних темена, у два редоследа).
  \item $\tfrac{81 \cdot 64}{4} = 81 \cdot 16 = 1296$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $1296$ правоугаоника (исто као $\binom92^2 = 36^2$: бирамо две вертикалне и две хоризонталне линије)


\subsection*{Иницијали}
У школи има $875$ ђака и ниједан нема иницијале са два иста слова (као Пера Перић — П. П.). Докажи да у школи постоје два ђака са истим иницијалима.

\begin{enumerate}
  \item Иницијали су уређен пар слова: слово имена, па слово презимена (П. М. и М. П. су различити иницијали).
  \item Азбука има $30$ слова. Прво слово може бити било које од $30$, а друго било које од преосталих $29$, јер иста слова не долазе у обзир.
  \item Могућих иницијала има $30 \cdot 29 = 870$.
  \item Ђака је $875 > 870$. Ако сваким иницијалима доделимо „кутију“, бар у једној кутији су два ђака (Дирихлеов принцип).
\end{enumerate}


\end{document}