Прости бројеви и делиоци

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Подсетник из 6. разреда} \\[2pt]
  {\small Прости бројеви и делиоци}
\end{center}

\section*{Прости бројеви облика $6k \pm 1$}

Сваки природан број при дељењу са $6$ даје остатак $0, 1, 2, 3, 4$ или $5$, па је облика $6k$, $6k+1$, …, $6k+5$.

\begin{center}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
\toprule
Облик & Закључак \\
\midrule
$6k$ & дељив са $6$ — није прост \\
$6k+1$ & може бити прост \\
$6k+2 = 2(3k+1)$ & дељив са $2$ \\
$6k+3 = 3(2k+1)$ & дељив са $3$ \\
$6k+4 = 2(3k+2)$ & дељив са $2$ \\
$6k+5 = 6(k+1) - 1$ & може бити прост \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\begin{theorem}
Сваки прост број већи од $3$ је облика $6k+1$ или $6k-1$.
\end{theorem}

Обрнуто не важи: $25 = 6 \cdot 4 + 1$ није прост. Облик $6k \pm 1$ је само услов који прост број мора да испуни.

\section*{Број делилаца}

Ако је $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ растављање на просте чиниоце, делилац бира изложилац сваког простог броја независно ($0$ до $a_i$), па је број делилаца $(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$.

\subsection*{Задатак}
Да ли је $9!$ дељиво бројем $3024$?

\begin{enumerate}
  \item $3024 = 2 \cdot 1512 = 2^2 \cdot 756 = 2^3 \cdot 378 = 2^4 \cdot 189 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 7$.
  \item Двојке у $9! = 1 \cdot 2 \cdots 9$: $2$ даје $1$, $4$ даје $2$, $6$ даје $1$, $8$ даје $3$; укупно $7$.
  \item Тројке: $3$ и $6$ дају по једну, $9$ даје две; укупно $1 + 1 + 2 = 4$.
  \item $9! = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$ (зато $9!$ није дељиво са $2^8$, али јесте са $2^4$).
  \item Сваки прост чинилац броја $3024$ јавља се у $9!$ бар толико пута: $2^4 \le 2^7$, $3^3 \le 3^4$, $7^1 \le 7^1$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} Јесте: $9! = 3024 \cdot 120$ (заправо $3024 = 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9$).


\subsection*{Пример}
Колико делилаца има број $3024$?

\begin{enumerate}
  \item $3024 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 7$, па је број делилаца $(4+1)(3+1)(1+1) = 5 \cdot 4 \cdot 2$.
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Решење:} $40$ делилаца


\end{document}