Висине, ортоцентар, уписани и описани круг

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Задаци са такмичења} \\[2pt]
  {\small Висине, ортоцентар, уписани и описани круг}
\end{center}

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item (Државно 2019, VII разред, 3. задатак) У оштроуглом троуглу $ABC$, тачке $D$ и $E$ су подножја висина из $C$ и $A$, тим редом, при чему важи $\len{AD} = \len{BC}$. Ако је $F$ подножје нормале из тачке $D$ на дуж $AE$, докажи да је полуправа $BF$ симетрала угла $ABC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.78, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (7.18,0);
  \coordinate (C) at (5,4.5);
  \coordinate (D) at (5,0);
  \coordinate (E) at (5.82,2.82);
  \coordinate (F) at (4.05,1.96);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (C) -- (D);
  \draw (A) -- (E);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (F);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (F);
  \pic[draw] {right angle=A--D--C};
  \pic[draw] {right angle=A--E--B};
  \pic[draw] {right angle=A--F--D};
  \draw ($(A)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (E) {$E$};
  \node[above] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2021, VI разред, 1. задатак) У разностраничан троугао $ABC$ уписан је круг $k$ чији је центар тачка $O$. Конструисане су праве $p$ и $q$, које садрже тачку $O$, такве да је $p \parallel AC$ и $q \parallel BC$. Права $p$ сече страницу $AB$ у тачки $M$, а права $q$ сече страницу $AB$ у тачки $N$. Докажи да је обим троугла $OMN$ једнак дужини странице $AB$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.06, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.59,3.7);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (O) at (2.88,1.5);
  \coordinate (M) at (1.73,2.47);
  \coordinate (N) at (1.05,1.5);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (2.88,1.5) circle (1.5);
  \draw[thick, red!70!black] (O) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (O) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (A) -- (O);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (B) -- (O);
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(O)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(O)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(B)!0.47!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(B)!0.47!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(B)!0.53!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(B)!0.53!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(O)!0.47!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(O)!0.47!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(O)!0.53!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(O)!0.53!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,O,M,N} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[above] at (O) {$O$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2019, VII разред, 4. задатак) Дат је правоугли троугао $ABC$ са правим углом код темена $C$ и углом $BAC$ од $20^\circ$. На хипотенузи $AB$ дате су тачке $O$ и $D$, такве да је $D$ средиште дужи $OB$, а круг са центром у $O$, полупречника $\len{OD}$, додирује страницу $AC$. Одреди величину угла $BCD$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.99, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (10,0);
  \coordinate (C) at (8.83,3.21);
  \coordinate (O) at (5.94,0);
  \coordinate (D) at (7.97,0);
  \coordinate (T) at (5.24,1.91);
  \coordinate (U) at (6.18,-0.65);
  \coordinate (V) at (9.76,0.65);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (5.94,0) circle (2.03);
  \draw (O) -- (T);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (U) -- (V);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (T);
  \pic[draw] {right angle=A--T--O};
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \draw ($(O)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(O)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(D)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(D)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(O)!0.5!(T)!3pt!90:(T)$) -- ($(O)!0.5!(T)!3pt!-90:(T)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,O,D,T,U,V} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (O) {$O$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[above left] at (T) {$T$};
  \node[below] at (U) {$U$};
  \node[above right] at (V) {$V$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} Нека је $\angle ABC = \beta$. Из правоуглог $\triangle ABE$: $\angle EAB = 90^\circ - \beta$; из правоуглог $\triangle CDB$: $\angle DCB = 90^\circ - \beta$.; $\triangle AFD \cong \triangle CDB$ (правоугли код $F$ и $D$, хипотенузе $\len{AD} = \len{CB}$, оштри углови $\angle FAD = \angle DCB$), па је $\len{DF} = \len{BD}$.; $DF \perp AE$ и $BE \perp AE$, па је $DF \parallel BE$ и $\angle DFB = \angle FBE$ (наизменични углови).; $\triangle DFB$ је једнакокрак ($\len{DF} = \len{DB}$), па је $\angle DBF = \angle DFB = \angle FBE$: $BF$ полови угао $ABC$.; \textbf{Решење:} $BF$ је симетрала угла $ABC$

\noindent\textbf{2.} $O$ је пресек симетрала углова, па је $\angle MAO = \angle OAC$.; $p \parallel AC$, па је $\angle AOM = \angle OAC$ (наизменични углови). Дакле $\angle MAO = \angle AOM$ и $\triangle AOM$ је једнакокрак: $\len{AM} = \len{OM}$.; Исто тако из $q \parallel BC$ и $\angle NBO = \angle OBC$: $\len{BN} = \len{ON}$.; Обим $\triangle OMN$: $\len{OM} + \len{MN} + \len{NO} = \len{AM} + \len{MN} + \len{NB} = \len{AB}$.; \textbf{Решење:} $O(OMN) = \len{AB}$

\noindent\textbf{3.} Нека је $T$ додирна тачка круга и странице $AC$. Полупречник је нормалан на тангенту: $OT \perp AC$, $\len{OT} = \len{OD} = \len{DB}$.; Из правоуглог $\triangle ATO$: $\angle AOT = 70^\circ$, па је $\angle TOD = 110^\circ$ и у једнакокраком $\triangle TOD$: $\angle OTD = \angle ODT = 35^\circ$.; $OT \perp AC$ и $BC \perp AC$, па је $OT \parallel BC$. Нека права кроз $D$ паралелна са $AC$ сече праву $OT$ у $U$ и дуж $BC$ у $V$.; $\triangle ODU \cong \triangle BDV$ (УСУ: $\len{OD} = \len{DB}$, $\angle ODU = \angle BDV$ унакрсни, $\angle DOU = \angle DBV$ као наизменични углови уз $OT \parallel BC$), па је $\len{DU} = \len{DV}$.; $UTCV$ је правоугаоник ($UV \parallel TC$, $UT \perp TC$, $VC \perp TC$), па је $\len{UT} = \len{VC}$.; $\triangle DUT \cong \triangle DVC$ (СУС: прави углови код $U$ и $V$, $\len{DU} = \len{DV}$, $\len{UT} = \len{VC}$), па је $\len{DT} = \len{DC}$ и $\angle DCT = \angle DTC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.; $\angle BCD = 90^\circ - \angle DCA = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle BCD = 35^\circ$


\end{document}