Тежишне дужи и средња линија

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Задаци са такмичења} \\[2pt]
  {\small Тежишне дужи и средња линија}
\end{center}

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item (Окружно 2020, VII разред, 5. задатак) У правоуглом троуглу $ABC$, са правим углом у темену $C$, важи $\len{BC} = 3\len{AC}$. Нека су $M$ и $N$ тачке катете $BC$ такве да је $\len{BM} = \len{MN} = \len{NC}$ и $K$ средиште хипотенузе $AB$. Израчунај меру угла $MKN$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.21, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (0,2.2);
  \coordinate (B) at (6.6,0);
  \coordinate (M) at (4.4,0);
  \coordinate (N) at (2.2,0);
  \coordinate (K) at (3.3,1.1);
  \coordinate (L) at (3.3,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (K) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (K) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (K) -- (L);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \draw ($(C)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(C)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(N)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(N)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(M)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(A)!0.49!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(A)!0.49!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \draw ($(A)!0.51!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(A)!0.51!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \draw ($(K)!0.49!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(K)!0.49!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(K)!0.51!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(K)!0.51!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {C,A,B,M,N,K,L} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
  \node[above right] at (K) {$K$};
  \node[below] at (L) {$L$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2019, VII разред, 4. задатак) Страница $AB$ конвексног четвороугла $ABCD$ је два пута дужа од њој наспрамне странице $CD$. Дијагонала $BD$ нормална је на страницу $AD$, а дијагонала $AC$ нормална је на страницу $BC$. Одреди угао између дијагонала датог четвороугла.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (C) at (6,3.46);
  \coordinate (D) at (2,3.46);
  \coordinate (M) at (4,0);
  \coordinate (O) at (4,2.31);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (C);
  \draw (B) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (M) -- (C);
  \draw[thick, teal!70!black] (M) -- (D);
  \pic[draw] {right angle=A--D--B};
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(M)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(D)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(D)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,O} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[above] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2023, VII разред, 3. задатак) Дијагонале $AC$ и $BD$ паралелограма $ABCD$ секу се у тачки $O$. Тачка $E$ је тежиште троугла $ABD$. На дужи $OC$ дата је тачка $G$ таква да је $\len{OG} : \len{GC} = 1 : 2$. Докажи да је четвороугао $EBGD$ паралелограм.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.03, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (7.5,3);
  \coordinate (D) at (1.5,3);
  \coordinate (O) at (3.75,1.5);
  \coordinate (E) at (2.5,1);
  \coordinate (G) at (5,2);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (C);
  \draw (B) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (E) -- (B) -- (G) -- (D) -- cycle;
  \draw ($(A)!0.48!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.48!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(A)!0.52!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.52!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(E)!0.5!(O)!3pt!90:(O)$) -- ($(E)!0.5!(O)!3pt!-90:(O)$);
  \draw ($(O)!0.5!(G)!3pt!90:(G)$) -- ($(O)!0.5!(G)!3pt!-90:(G)$);
  \draw ($(G)!0.48!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(G)!0.48!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(G)!0.52!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(G)!0.52!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,O,E,G} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[above] at (O) {$O$};
  \node[below] at (E) {$E$};
  \node[above] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2021, VI разред, 5. задатак) У троуглу $ABC$ је $\angle BAC = 45^\circ$. Нека је $M$ тачка на страници $AC$ таква да је $\len{MC} = 2\len{AM}$ и $\angle ABM = 15^\circ$. Одреди меру угла $ACB$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (4.1,7.1);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (M) at (4.73,4.73);
  \coordinate (D) at (3,3);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (B) -- (M);
  \draw (M) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (A) -- (D);
  \pic[draw] {right angle=M--D--C};
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=13.75mm] {angle=M--B--A};
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(M)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (M) {$M$};
  \node[right] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2024, VI разред, 2. задатак) Нека је $M$ тачка на катети $BC$ правоуглог троугла $ABC$, таква да је $\len{BM} = 2\len{MC}$. Ако је $K$ средиште хипотенузе $AB$ овог троугла, докажи да је $\angle BAM = \angle MKC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.98, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (0,4.2);
  \coordinate (B) at (7.2,0);
  \coordinate (M) at (2.4,0);
  \coordinate (K) at (3.6,2.1);
  \coordinate (L) at (4.8,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (K) -- (M);
  \draw (K) -- (C);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (K) -- (L);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \draw ($(C)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(C)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(L)!3pt!90:(L)$) -- ($(M)!0.5!(L)!3pt!-90:(L)$);
  \draw ($(L)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(L)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(A)!0.49!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(A)!0.49!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \draw ($(A)!0.51!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(A)!0.51!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \draw ($(K)!0.49!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(K)!0.49!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(K)!0.51!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(K)!0.51!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {C,A,B,M,K,L} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[above right] at (K) {$K$};
  \node[below] at (L) {$L$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2021, VII разред, 5. задатак) Странице троугла $ABC$ су $\len{AB} = 125\,\mathrm{cm}$, $\len{AC} = 117\,\mathrm{cm}$, $\len{BC} = 120\,\mathrm{cm}$. Симетрала унутрашњег угла код темена $A$ сече дуж $BC$ у тачки $L$, док симетрала унутрашњег угла код темена $B$ сече $AC$ у тачки $K$. Нека су $M$ и $N$ подножја нормала из тачке $C$ редом на $BK$ и $AL$. Одреди дужину дужи $MN$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.36, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6.25,0);
  \coordinate (C) at (2.98,5.03);
  \coordinate (L) at (4.56,2.6);
  \coordinate (K) at (1.52,2.57);
  \coordinate (M) at (1.62,2.52);
  \coordinate (N) at (4.42,2.52);
  \coordinate (P) at (0.25,0);
  \coordinate (Q) at (5.85,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (L);
  \draw (B) -- (K);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (Q);
  \draw[thick, red!70!black] (M) -- (N);
  \pic[draw] {right angle=B--M--C};
  \pic[draw] {right angle=A--N--C};
  \draw ($(B)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(B)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(B)!0.5!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(B)!0.5!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(A)!0.49!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A)!0.49!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(A)!0.51!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A)!0.51!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(A)!0.49!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(A)!0.49!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \draw ($(A)!0.51!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(A)!0.51!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,L,K,M,N,P,Q} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (L) {$L$};
  \node[above left] at (K) {$K$};
  \node[below left] at (M) {$M$};
  \node[below right] at (N) {$N$};
  \node[below] at (P) {$P$};
  \node[below] at (Q) {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\len{BM} = \len{MN} = \len{NC} = \len{AC}$. Нека је $L$ средиште дужи $BC$; оно је и средиште дужи $MN$ ($\len{BM} = \len{NC}$).; $KL$ је средња линија $\triangle ABC$: $KL \parallel AC$, па је $KL \perp BC$, и $\len{KL} = \tfrac12\len{AC} = \tfrac12\len{MN} = \len{ML} = \len{LN}$.; $\triangle KLM$ и $\triangle KLN$ су једнакокрако-правоугли, па је $\angle MKL = \angle NKL = 45^\circ$.; $\angle MKN = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle MKN = 90^\circ$

\noindent\textbf{2.} Нека је $M$ средиште дужи $AB$. Троуглови $ADB$ и $ACB$ су правоугли са хипотенузом $AB$, па је $\len{MD} = \len{MC} = \tfrac12\len{AB} = \len{CD}$: $\triangle MCD$ је једнакостраничан.; $\len{MD} = \len{MB}$, па је $\angle MDB = \angle MBD = x$; $\len{MC} = \len{MA}$, па је $\angle MCA = \angle MAC = y$.; $\angle ODC = 60^\circ - x$ и $\angle OCD = 60^\circ - y$, где је $O$ пресек дијагонала. Из $\triangle ODC$: $\angle DOC = 180^\circ - (60^\circ - x) - (60^\circ - y) = 60^\circ + x + y$.; Из $\triangle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - x - y$, а $\angle AOB = \angle DOC$ (унакрсни), па је $60^\circ + x + y = 180^\circ - x - y$, тј. $x + y = 60^\circ$.; $\angle AOB = 120^\circ$, па је оштар угао између дијагонала $60^\circ$.; \textbf{Решење:} $60^\circ$

\noindent\textbf{3.} $O$ је средиште дијагонале $BD$, па је $AO$ тежишна дуж $\triangle ABD$ и тежиште $E$ лежи на њој: $\len{AE} : \len{EO} = 2 : 1$, тј. $\len{OE} = \tfrac13\len{AO}$.; $\len{OC} = \len{AO}$ (дијагонале паралелограма се полове), па је $\len{OG} = \tfrac13\len{OC} = \tfrac13\len{AO} = \len{OE}$.; $E$ и $G$ су на правој $AC$ са различитих страна тачке $O$, па је $O$ средиште дужи $EG$. $O$ је и средиште дужи $BD$.; Четвороугао чије се дијагонале полове је паралелограм, па је $EBGD$ паралелограм.; \textbf{Решење:} $EBGD$ је паралелограм

\noindent\textbf{4.} Из $\triangle ABM$: $\angle AMB = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ$, па је $\angle BMC = 60^\circ$.; Нека је $D$ подножје нормале из $C$ на праву $BM$. У правоуглом $\triangle CDM$ је $\angle CMD = 60^\circ$ и $\angle MCD = 30^\circ$, па је $\len{DM} = \tfrac12\len{MC} = \len{AM}$ (катета наспрам угла од $30^\circ$ је половина хипотенузе).; $\triangle AMD$ је једнакокрак са $\angle AMD = 120^\circ$, па је $\angle MAD = \angle MDA = 30^\circ$.; $\angle DAB = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ = \angle ABD$, па је $\len{AD} = \len{BD}$.; У $\triangle ADC$ је $\angle DAC = 30^\circ = \angle DCA$, па је $\len{AD} = \len{CD}$. Дакле $\len{BD} = \len{CD}$: правоугли $\triangle BDC$ је једнакокрак, $\angle DCB = 45^\circ$.; $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle ACB = 75^\circ$

\noindent\textbf{5.} Нека је $L$ средиште дужи $BM$. Тада је $\len{BL} = \len{LM} = \len{MC}$.; $LK$ је средња линија $\triangle MAB$ ($K$ средиште $AB$, $L$ средиште $BM$), па је $LK \parallel MA$ и $\angle BKL = \angle BAM$.; $\len{KB} = \len{KC}$ (тежишна дуж на хипотенузу), па је $\angle KBL = \angle KCM$.; $\triangle LKB \cong \triangle MKC$ (СУС: $\len{BL} = \len{CM}$, $\len{BK} = \len{CK}$, $\angle KBL = \angle KCM$), па је $\angle BKL = \angle CKM$.; $\angle BAM = \angle BKL = \angle MKC$.; \textbf{Решење:} $\angle BAM = \angle MKC$

\noindent\textbf{6.} Нека права $CM$ сече $AB$ у тачки $P$. $\triangle BMC \cong \triangle BMP$ (УСУ: $\angle CBM = \angle PBM$, $BM$ заједничка, прави углови код $M$), па је $\len{BP} = \len{BC} = 120$ и $M$ је средиште дужи $CP$.; Исто тако, ако права $CN$ сече $AB$ у $Q$: $\len{AQ} = \len{AC} = 117$ и $N$ је средиште дужи $CQ$.; $MN$ је средња линија $\triangle CPQ$, па је $\len{MN} = \tfrac12\len{PQ}$.; $P$ и $Q$ су на дужи $AB$ ($\len{BP} < \len{AB}$, $\len{AQ} < \len{AB}$) и дужи $AQ$ и $BP$ се преклапају баш по дужи $PQ$: $\len{PQ} = \len{AQ} + \len{BP} - \len{AB} = 117 + 120 - 125 = 112$.; $\len{MN} = 56\,\mathrm{cm}$.; \textbf{Решење:} $\len{MN} = 56\,\mathrm{cm}$


\end{document}