Симетрале угла и дужи

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Задаци са такмичења} \\[2pt]
  {\small Симетрале угла и дужи}
\end{center}

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item (Окружно 2021, VI разред, 5. задатак) Симетрала унутрашњег угла код темена $A$ троугла $ABC$ сече страницу $BC$ у тачки $D$. Нека је $E$ унутрашња тачка странице $AB$ при чему је $\angle ADB = 94^\circ$, $\angle ACE = 38^\circ$ и $\angle CEB = 84^\circ$. Одреди која је најкраћа, а која најдужа страница троугла $ABC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.59, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3.58,7.03);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (D) at (3.09,0);
  \coordinate (E) at (1.49,2.93);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (E);
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=D--A--C};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=A--D--B};
  \pic[draw, angle radius=11.25mm] {angle=A--C--E};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=B--E--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[left] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2022, VI разред, 3. задатак) Дат је троугао $ABC$. Угао који граде симетрале спољашњих углова код темена $B$ и $C$ једнак је унутрашњем углу код темена $A$ и за $7^\circ$ је већи од унутрашњег угла код темена $C$. Упореди дужине страница троугла $ABC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.46, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.16,5.09);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (S) at (3.42,-5.17);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (S);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (S);
  \draw[dashed] (0,0) -- (-1.6,0);
  \draw[dashed] (6,0) -- (7.6,0);
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=C--S--B};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=B--A--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,S} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[above left] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (S) {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2023, VI разред, 5. задатак) Дат је квадрат $ABCD$. Нека је $E$ тачка на полуправој $AB$ таква да је $\angle AED = 22^\circ 30'$. Ако се дужи $AC$ и $DE$ секу у тачки $S$, одреди меру угла $BSE$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.78, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (5,0);
  \coordinate (C) at (5,5);
  \coordinate (D) at (0,5);
  \coordinate (E) at (12.07,0);
  \coordinate (S) at (3.54,3.54);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (C);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \draw (B) -- (E);
  \draw[thick, teal!70!black] (B) -- (S);
  \pic[draw, angle radius=13.75mm] {angle=D--E--A};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=B--S--E};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,S} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below right] at (E) {$E$};
  \node[above] at (S) {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2026, VI разред, 2. задатак) Дат је паралелограм $ABCD$. Дијагонала $AC$ дели оштар угао $BAD$ на два дела који се разликују за $15^\circ$. Нормала из темена $D$ на страницу $BC$ сече дијагоналу $AC$ у тачки $H$ тако да је $\angle AHD = 55^\circ$. Одреди мере унутрашњих углова тог паралелограма. Одреди сва решења.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (7,0);
  \coordinate (C) at (9.39,3.42);
  \coordinate (D) at (2.39,3.42);
  \coordinate (E) at (7.09,0.13);
  \coordinate (H) at (4.79,1.74);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw (A) -- (C);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \pic[draw] {right angle=D--E--C};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=D--H--A};
  \pic[draw, angle radius=13.75mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=15.63mm] {angle=C--A--D};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,H} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (E) {$E$};
  \node[below] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2022, VII разред, 5. задатак) Нека је $M$ пресек симетрале унутрашњег угла код темена $A$ и странице $BC$ троугла $ABC$. Ако је центар уписане кружнице троугла $AMB$ уједно и центар описане кружнице троугла $ABC$, одреди мере углова троугла $ABC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.35, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (4.85,3.53);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (M) at (3.71,0);
  \coordinate (O) at (3,0.97);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black] (O) -- (A);
  \draw[thick, teal!70!black] (O) -- (B);
  \draw[thick, teal!70!black] (O) -- (C);
  \draw[dashed] (3,0.97) circle (3.15);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,O} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[right] at (O) {$O$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2024, VII разред, 4. задатак) Дат је троугао $ABC$ у коме је $\angle BCA = 60^\circ$. Нека симетрала угла $BAC$ сече страницу $BC$ у тачки $D$, а симетрала угла $ABC$ страницу $AC$ у тачки $E$. Докажи да је $\len{AB} = \len{AE} + \len{BD}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.12, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (3.55,4.24);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (6,0);
  \coordinate (D) at (3.18,0);
  \coordinate (E) at (4.73,2.2);
  \coordinate (I) at (3.32,1.55);
  \coordinate (F) at (2.05,2.44);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (D);
  \draw (B) -- (E);
  \draw[thick, teal!70!black] (I) -- (F);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--C--B};
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \draw ($(A)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(A)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(B)!0.49!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(B)!0.49!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.51!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(B)!0.51!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(B)!0.49!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(B)!0.49!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(B)!0.51!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(B)!0.51!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,I,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below right] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[above right] at (I) {$I$};
  \node[left] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2019, VI разред, 3. задатак) У троуглу $ABC$ мерни бројеви дужина страница су три узастопна природна броја. Нека је $P$ средиште странице $BC$ и нека је симетрала угла $BCA$ нормална на дуж $AP$. Одреди мерне бројеве дужина страница троугла $ABC$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.51, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (A) at (2.06,2.18);
  \coordinate (P) at (3,0);
  \coordinate (T) at (2.53,1.09);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (P);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (T);
  \pic[draw] {right angle=A--T--C};
  \draw ($(C)!0.5!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(C)!0.5!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(P)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(P)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=T--C--A};
  \pic[draw, angle radius=10mm] {angle=B--C--T};
  \node[above left] at ($(C)!0.5!(A)$) {$2$};
  \node[above right] at ($(A)!0.5!(B)$) {$3$};
  \node[below] at ($(C)!0.75!(B)$) {$4$};
  \foreach \pt in {C,B,A,P,T} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below] at (P) {$P$};
  \node[above right] at (T) {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2026, VI разред, 3. задатак) У троуглу $ABC$ мера унутрашњег угла код темена $A$ је $6$ пута већа од мере угла код темена $B$. Симетрала странице $AC$ сече страницу $BC$ у тачки $M$, при чему је троугао $ABM$ једнакокрак. Одреди мере унутрашњих углова троугла $ABC$. Одреди сва решења.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.57, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (4.88,1.78);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (7,0);
  \coordinate (M) at (5.2,0);
  \coordinate (S) at (5.94,0.89);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black] (S) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (5.94,0.89) -- (6.71,1.81);
  \pic[draw] {right angle=A--S--M};
  \draw ($(A)!0.5!(S)!3pt!90:(S)$) -- ($(A)!0.5!(S)!3pt!-90:(S)$);
  \draw ($(S)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(S)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(M)!0.48!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(M)!0.48!(A)!3pt!-90:(A)$);
  \draw ($(M)!0.52!(A)!3pt!90:(A)$) -- ($(M)!0.52!(A)!3pt!-90:(A)$);
  \draw ($(M)!0.48!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(M)!0.48!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(M)!0.52!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(M)!0.52!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,S} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[above right] at (S) {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2023, VI разред, 4. задатак) У једнакокраком троуглу $ABC$ ($\len{AC} = \len{BC}$) мера угла при врху је $108^\circ$. Нека је $E$ тачка пресека симетрале угла $BAC$ и странице $BC$. Ако је дуж $CD$ висина која одговара основици овог троугла, докажи да је $\len{AE} = 2\len{CD}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.51, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (3,2.18);
  \coordinate (D) at (3,0);
  \coordinate (E) at (4.15,1.35);
  \coordinate (O) at (3,0.97);
  \coordinate (F) at (2.07,0.67);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (E);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (F);
  \pic[draw] {right angle=A--D--C};
  \draw ($(A)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(A)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(F)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(F)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,O,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (E) {$E$};
  \node[above right] at (O) {$O$};
  \node[above left] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2019, VI разред, 4. задатак) У правоуглом троуглу $ABC$ ($\angle C$ је прав) важи $\len{BC} < \len{CA}$. Нека су $D$, $E$ и $F$ тачке на хипотенузи $AB$ такве да је $CD$ висина, $CE$ симетрала правог угла, а $CF$ тежишна дуж. Ако је један од углова $\angle BCD$, $\angle DCE$, $\angle ECF$ и $\angle FCA$ двапут већи од неког другог од њих, израчунај углове датог троугла.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.27, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (4.5,2.6);
  \coordinate (D) at (4.5,0);
  \coordinate (E) at (3.8,0);
  \coordinate (F) at (3,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (E);
  \draw (C) -- (F);
  \pic[draw] {right angle=A--D--C};
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \draw ($(A)!0.5!(F)!3pt!90:(F)$) -- ($(A)!0.5!(F)!3pt!-90:(F)$);
  \draw ($(F)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(F)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[below] at (E) {$E$};
  \node[below] at (F) {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\angle AEC = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$, па је из $\triangle AEC$: $\alpha = 180^\circ - 96^\circ - 38^\circ = 46^\circ$.; $\angle BAD = \tfrac{\alpha}{2} = 23^\circ$, па је из $\triangle ABD$: $\beta = 180^\circ - 94^\circ - 23^\circ = 63^\circ$.; $\gamma = 180^\circ - 46^\circ - 63^\circ = 71^\circ$.; Наспрам већег угла је већа страница: $\gamma > \beta > \alpha$, па је $\len{AB} > \len{AC} > \len{BC}$.; \textbf{Решење:} најкраћа $BC$, најдужа $AB$

\noindent\textbf{2.} Нека се симетрале секу у $S$. Спољашњи угао код $B$ има меру $180^\circ - \beta = \alpha + \gamma$, па је $\angle SBC = \tfrac{\alpha + \gamma}{2}$; слично $\angle SCB = \tfrac{\alpha + \beta}{2}$.; Из $\triangle BSC$: $\angle BSC = 180^\circ - \tfrac{\alpha+\gamma}{2} - \tfrac{\alpha+\beta}{2} = 180^\circ - \alpha - \tfrac{\beta + \gamma}{2} = 180^\circ - \alpha - \tfrac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \tfrac{\alpha}{2}$.; Услов $\angle BSC = \alpha$ даје $90^\circ - \tfrac{\alpha}{2} = \alpha$, тј. $\alpha = 60^\circ$. Онда је $\gamma = 60^\circ - 7^\circ = 53^\circ$ и $\beta = 180^\circ - 60^\circ - 53^\circ = 67^\circ$.; $\beta > \alpha > \gamma$, па је $\len{AC} > \len{BC} > \len{AB}$.; \textbf{Решење:} $\len{AC} > \len{BC} > \len{AB}$

\noindent\textbf{3.} $\angle EDA = 90^\circ - 22^\circ 30' = 67^\circ 30'$.; $\angle DAS = 45^\circ$ ($AC$ је дијагонала квадрата), па је у $\triangle ADS$: $\angle DSA = 180^\circ - 45^\circ - 67^\circ 30' = 67^\circ 30'$. Дакле $\triangle ADS$ је једнакокрак, $\len{AS} = \len{AD}$.; $\len{AS} = \len{AD} = \len{AB}$, па је $\triangle ABS$ једнакокрак са $\angle BAS = 45^\circ$: $\angle ASB = \angle ABS = 67^\circ 30'$.; $\angle BSE = 180^\circ - \angle ASB - \angle DSA = 180^\circ - 2 \cdot 67^\circ 30' = 45^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle BSE = 45^\circ$

\noindent\textbf{4.} Нека је $E$ подножје нормале из $D$ на $BC$. $\angle CHE = \angle AHD = 55^\circ$ (унакрсни), па је у правоуглом $\triangle CHE$: $\angle HCE = 35^\circ$.; $AD \parallel BC$, па је $\angle CAD = \angle ACB = 35^\circ$ (наизменични углови).; $|\angle CAD - \angle BAC| = 15^\circ$, па је $\angle BAC = 20^\circ$ или $\angle BAC = 50^\circ$.; Ако је $\angle BAC = 20^\circ$: $\angle BAD = 55^\circ$, $\angle ABC = 125^\circ$. Ако је $\angle BAC = 50^\circ$: $\angle BAD = 85^\circ$, $\angle ABC = 95^\circ$. Наспрамни углови паралелограма су једнаки.; \textbf{Решење:} $55^\circ, 125^\circ, 55^\circ, 125^\circ$ или $85^\circ, 95^\circ, 85^\circ, 95^\circ$

\noindent\textbf{5.} Нека је $O$ та тачка. $\angle CAM = \angle MAB = \tfrac{\alpha}{2}$, а $OA$ је симетрала угла $MAB$, па је $\angle MAO = \angle OAB = \tfrac{\alpha}{4}$.; $\len{OA} = \len{OB} = \len{OC}$ (центар описане кружнице), па су троуглови $OAB$, $OBC$ и $OCA$ једнакокраки.; $\angle OCA = \angle OAC = \tfrac{\alpha}{2} + \tfrac{\alpha}{4} = \tfrac{3\alpha}{4}$ и $\angle OBA = \angle OAB = \tfrac{\alpha}{4}$.; $OB$ је симетрала угла $ABM$, па је $\angle OBC = \angle OBA = \tfrac{\alpha}{4}$, а онда и $\angle OCB = \angle OBC = \tfrac{\alpha}{4}$.; $\beta = 2 \cdot \tfrac{\alpha}{4} = \tfrac{\alpha}{2}$ и $\gamma = \tfrac{3\alpha}{4} + \tfrac{\alpha}{4} = \alpha$. Из $\alpha + \tfrac{\alpha}{2} + \alpha = 180^\circ$ следи $\alpha = 72^\circ$.; \textbf{Решење:} $\alpha = 72^\circ$, $\beta = 36^\circ$, $\gamma = 72^\circ$

\noindent\textbf{6.} Нека је $I$ пресек симетрала $AD$ и $BE$. Из $\triangle AIB$: $\angle AIB = 180^\circ - \tfrac{\alpha}{2} - \tfrac{\beta}{2} = 180^\circ - \tfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 120^\circ$, па је $\angle AIE = \angle BID = 60^\circ$.; Нека је $F$ тачка дужи $AB$ таква да је $\len{AF} = \len{AE}$.; $\triangle AIE \cong \triangle AIF$ (СУС: $\len{AE} = \len{AF}$, $\angle EAI = \angle FAI$, $AI$ заједничка), па је $\angle AIF = \angle AIE = 60^\circ$.; $\angle BIF = \angle AIB - \angle AIF = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ = \angle BID$.; $\triangle BIF \cong \triangle BID$ (УСУ: $BI$ заједничка, $\angle IBF = \angle IBD$, $\angle BIF = \angle BID$), па је $\len{BF} = \len{BD}$.; $\len{AB} = \len{AF} + \len{FB} = \len{AE} + \len{BD}$.; \textbf{Решење:} $\len{AB} = \len{AE} + \len{BD}$

\noindent\textbf{7.} У $\triangle ACP$ симетрала угла код $C$ је уједно и висина (нормална је на $AP$), па је тај троугао једнакокрак: $\len{CA} = \len{CP}$.; $\len{CP} = \tfrac12\len{BC}$, па је $\len{BC} = 2\len{AC}$.; Странице су $n$, $n+1$, $n+2$ и једна је двоструко већа од друге: $n + 2 = 2n$ даје $n = 2$ ($n + 1 = 2n$ даје $n = 1$, али тада $1, 2, 3$ не чине троугао; $n + 2 = 2(n+1)$ је немогуће).; $\len{AC} = 2$, $\len{AB} = 3$, $\len{BC} = 4$; неједнакост троугла $2 + 3 > 4$ важи.; \textbf{Решење:} $\len{AC} = 2$, $\len{AB} = 3$, $\len{BC} = 4$

\noindent\textbf{8.} Нека је $\beta = \angle ABC$; тада је $\alpha = 6\beta$ и $\gamma = 180^\circ - 7\beta$.; $M$ је на симетрали дужи $AC$, па је $\len{MA} = \len{MC}$ и $\angle MAC = \angle MCA = \gamma$. Отуда $\angle BAM = \alpha - \gamma = 13\beta - 180^\circ$ и $\angle AMB = 2\gamma = 360^\circ - 14\beta$ (спољашњи угао $\triangle AMC$).; $\len{MA} = \len{MB}$: $\angle BAM = \angle ABM$, $13\beta - 180^\circ = \beta$, $\beta = 15^\circ$; углови су $90^\circ, 15^\circ, 75^\circ$.; $\len{BA} = \len{BM}$: $\angle AMB = \angle BAM$, $360^\circ - 14\beta = 13\beta - 180^\circ$, $\beta = 20^\circ$; углови су $120^\circ, 20^\circ, 40^\circ$.; $\len{AB} = \len{AM}$: $\angle AMB = \angle ABM$, $360^\circ - 14\beta = \beta$, $\beta = 24^\circ$; углови су $144^\circ, 24^\circ, 12^\circ$.; \textbf{Решење:} $(\alpha, \beta, \gamma) \in \{(90^\circ, 15^\circ, 75^\circ), (120^\circ, 20^\circ, 40^\circ), (144^\circ, 24^\circ, 12^\circ)\}$

\noindent\textbf{9.} $\angle CAB = \angle CBA = 36^\circ$, па је $\angle CAE = \angle EAB = 18^\circ$ и $\angle AEC = 180^\circ - 108^\circ - 18^\circ = 54^\circ$.; Нека је $O = CD \cap AE$. Висина $CD$ једнакокраког троугла је и симетрала угла $ACB$, па је $\angle OCE = 54^\circ = \angle OEC$: $\triangle OCE$ је једнакокрак, $\len{OC} = \len{OE}$.; Нека је $F$ средиште дужи $AE$. $DF$ је средња линија $\triangle ABE$ ($D$ је средиште $AB$), па је $DF \parallel BC$.; Из $DF \parallel CE$: $\angle ODF = \angle OCE = 54^\circ$ и $\angle OFD = \angle OEC = 54^\circ$ (наизменични углови), па је $\triangle OFD$ једнакокрак, $\len{OF} = \len{OD}$.; $\len{CD} = \len{CO} + \len{OD} = \len{OE} + \len{OF} = \len{EF} = \tfrac12\len{AE}$, тј. $\len{AE} = 2\len{CD}$.; \textbf{Решење:} $\len{AE} = 2\len{CD}$

\noindent\textbf{10.} Нека је $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta = 90^\circ - \alpha$. Из $\len{BC} < \len{CA}$ је $\alpha < \beta$, тј. $\alpha < 45^\circ$.; $\angle BCD = 90^\circ - \beta = \alpha$ (правоугли $\triangle BDC$). $\len{FC} = \len{FA}$ (тежишна дуж на хипотенузу), па је $\angle FCA = \alpha$.; $\angle BCE = \angle ECA = 45^\circ$, па је $\angle DCE = 45^\circ - \alpha$ и $\angle ECF = 45^\circ - \alpha$.; Четири угла су $\alpha$, $45^\circ - \alpha$, $45^\circ - \alpha$, $\alpha$. Или је $\alpha = 2(45^\circ - \alpha)$, тј. $\alpha = 30^\circ$, или је $45^\circ - \alpha = 2\alpha$, тј. $\alpha = 15^\circ$.; \textbf{Решење:} $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ или $15^\circ, 75^\circ, 90^\circ$


\end{document}