Подударност троуглова

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[serbianc]{babel}
\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{array,booktabs}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,angles}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\len}[1]{\lvert #1\rvert}

\begin{document}

\begin{center}
  {\large\bfseries Задаци са такмичења} \\[2pt]
  {\small Подударност троуглова}
\end{center}

\paragraph{Задаци}
\begin{enumerate}
  \item (Окружно 2026, VI разред, 5. задатак) У унутрашњости једнакостраничног троугла $ABC$ одређене су тачке $P$ и $Q$ тако да је $\angle ABP = 30^\circ$, $\angle BAP = 45^\circ$, $\angle QAB = \angle QBA = 15^\circ$. Докажи да је $\len{AP} = \len{AQ}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.91, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (3,5.2);
  \coordinate (P) at (2.2,2.2);
  \coordinate (Q) at (3,0.8);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (P);
  \draw (B) -- (P);
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (Q);
  \draw[thick, red!70!black] (B) -- (Q);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (C) -- (Q);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=B--A--P};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=P--B--A};
  \pic[draw, angle radius=14.38mm] {angle=B--A--Q};
  \pic[draw, angle radius=15.63mm] {angle=Q--B--A};
  \draw ($(A)!0.5!(P)!3pt!90:(P)$) -- ($(A)!0.5!(P)!3pt!-90:(P)$);
  \draw ($(A)!0.5!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(A)!0.5!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,P,Q} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[above right] at (P) {$P$};
  \node[above] at (Q) {$Q$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2026, VI разред, 4. задатак) Дат је квадрат $ABCD$. Тачке $M$, $N$ и $Q$ су редом средишта дужи $AB$, $BC$ и $DM$, а тачка $P$ је пресек дужи $CM$ и $DN$. Докажи да је $\len{CM} = 2\len{PQ}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (M) at (3,0);
  \coordinate (N) at (6,3);
  \coordinate (Q) at (1.5,3);
  \coordinate (P) at (4.8,3.6);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (N);
  \draw (D) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black] (P) -- (Q);
  \draw ($(A)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(A)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(M)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(B)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(B)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(N)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(N)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(D)!0.48!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(D)!0.48!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \draw ($(D)!0.52!(Q)!3pt!90:(Q)$) -- ($(D)!0.52!(Q)!3pt!-90:(Q)$);
  \draw ($(Q)!0.48!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(Q)!0.48!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(Q)!0.52!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(Q)!0.52!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \pic[draw] {right angle=D--P--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,N,Q,P} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[right] at (N) {$N$};
  \node[left] at (Q) {$Q$};
  \node[above right] at (P) {$P$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2024, VI разред, 5. задатак) Нека је $M$ тачка на страници $AB$ квадрата $ABCD$ таква да је $\angle ADM = 20^\circ$, а $N$ тачка на страници $BC$ таква да је $\len{CN} = \len{DM} - \len{AM}$. Одреди меру угла $MDN$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (M) at (2.18,0);
  \coordinate (N) at (6,1.8);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (N);
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=A--D--M};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,N} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[right] at (N) {$N$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2022, VI разред, 5. задатак) У троуглу $ABC$ важи $\len{BC} = 2\len{AC}$. Нека је $D$ тачка странице $BC$ таква да је $\angle CAD = \angle ABC$. Симетрала спољашњег угла код темена $C$ сече полуправу $AD$ у тачки $E$. Докажи да је $\len{AE} = \len{AB}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.78, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (2.57,3.06);
  \coordinate (B) at (8,0);
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (D) at (2,0);
  \coordinate (E) at (1.43,-3.06);
  \coordinate (M) at (4,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (E);
  \draw[thick, teal!70!black] (C) -- (E);
  \draw[dashed] (A) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (0,0) -- (0.68,-1.45);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=C--A--D};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=A--B--C};
  \draw ($(A)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(A)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(C)!0.5!(M)!3pt!90:(M)$) -- ($(C)!0.5!(M)!3pt!-90:(M)$);
  \draw ($(M)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(M)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,M} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[below] at (M) {$M$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2022, VI разред, 3. задатак) У троуглу $ABC$ је $\angle B = 80^\circ$. Нека је $D$ тачка странице $BC$ таква да је $\angle BDA = 70^\circ$ и $\len{AB} + \len{BD} = \len{AC}$. Одреди меру угла $ACB$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0.69,3.94);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (5.39,0);
  \coordinate (D) at (2.13,0);
  \coordinate (E) at (-4,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, teal!70!black] (E) -- (B);
  \draw[thick, teal!70!black] (E) -- (A);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--D--B};
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=B--E--A};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=E--A--B};
  \draw ($(E)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(E)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \draw ($(A)!0.5!(B)!3pt!90:(B)$) -- ($(A)!0.5!(B)!3pt!-90:(B)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[below left] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2020, VI разред, 5. задатак) Троуглови $ABC$ и $A_1B_1C_1$ су једнакокрако-правоугли са хипотенузама $AB$, односно $A_1B_1$, при чему тачка $A_1$ припада дужи $AC$, тачка $B_1$ дужи $AB$ и тачка $C_1$ дужи $BC$. Докажи да је $\len{AA_1} = 2\len{CC_1}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (6,0);
  \coordinate (B) at (0,6);
  \coordinate (A1) at (3,0);
  \coordinate (B1) at (1.5,4.5);
  \coordinate (C1) at (0,1.5);
  \coordinate (D) at (0,4.5);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A1) -- (B1) -- (C1) -- cycle;
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (D) -- (B1);
  \pic[draw] {right angle=A--C--B};
  \pic[draw] {right angle=A1--C1--B1};
  \pic[draw] {right angle=C--D--B1};
  \draw ($(C1)!0.5!(A1)!3pt!90:(A1)$) -- ($(C1)!0.5!(A1)!3pt!-90:(A1)$);
  \draw ($(C1)!0.5!(B1)!3pt!90:(B1)$) -- ($(C1)!0.5!(B1)!3pt!-90:(B1)$);
  \foreach \pt in {C,A,B,A1,B1,C1,D} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (C) {$C$};
  \node[below right] at (A) {$A$};
  \node[above left] at (B) {$B$};
  \node[below] at (A1) {$A_1$};
  \node[above right] at (B1) {$B_1$};
  \node[left] at (C1) {$C_1$};
  \node[left] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2020, VI разред, 5. задатак) Нека је $D$ тачка на основици $BC$ једнакокраког троугла $ABC$ таква да је мера угла $BAD$ једнака $2020'$, а $E$ тачка на краку $AC$ таква да је $\len{AE} = \len{AD}$. Одреди меру угла $CDE$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (4,5.5);
  \coordinate (B) at (0,0);
  \coordinate (C) at (8,0);
  \coordinate (D) at (3.77,0);
  \coordinate (E) at (7.24,1.05);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (A) -- (D);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (E);
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=B--A--D};
  \pic[draw, angle radius=8.13mm] {angle=E--D--A};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--E--D};
  \pic[draw, angle radius=6.25mm] {angle=C--D--E};
  \draw ($(A)!0.5!(D)!3pt!90:(D)$) -- ($(A)!0.5!(D)!3pt!-90:(D)$);
  \draw ($(A)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(A)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[above] at (A) {$A$};
  \node[below left] at (B) {$B$};
  \node[below right] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[above right] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Окружно 2026, VII разред, 2. задатак) Симетрала оштрог угла код темена $C$ паралелограма $ABCD$ ($\len{AB} > \len{AD}$) сече праву $AD$ у тачки $E$, при чему је $\len{AE} = 5\,\mathrm{cm}$. Израчунај дужине страница паралелограма ако је његов обим $50\,\mathrm{cm}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.91, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (8,3.46);
  \coordinate (D) at (2,3.46);
  \coordinate (E) at (-1,-1.73);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (E);
  \draw (A) -- (E);
  \pic[draw, angle radius=10.63mm] {angle=E--C--B};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=D--C--E};
  \pic[draw, angle radius=9.38mm] {angle=C--E--D};
  \draw ($(D)!0.5!(C)!3pt!90:(C)$) -- ($(D)!0.5!(C)!3pt!-90:(C)$);
  \draw ($(D)!0.5!(E)!3pt!90:(E)$) -- ($(D)!0.5!(E)!3pt!-90:(E)$);
  \node[left] at ($(A)!0.5!(E)$) {$5$};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below left] at (E) {$E$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2022, VII разред, 5. задатак) У унутрашњости једнакокраког троугла $ABC$ ($\len{AC} = \len{BC}$) дата је тачка $M$ таква да је $\angle AMB = 2\angle ACB$. На дужи $AM$ одабрана је тачка $N$ таква да је $\angle CNM = \angle ACB$. Докажи да је $\len{CN} = \len{BM} + \len{MN}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.86, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (3,6);
  \coordinate (M) at (4.26,1.99);
  \coordinate (N) at (1.93,0.9);
  \coordinate (K) at (2.56,3.92);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (A) -- (M);
  \draw (B) -- (K);
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black] (N) -- (K);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=A--M--B};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=M--N--C};
  \pic[draw, angle radius=7.5mm] {angle=A--C--B};
  \draw ($(M)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(M)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \draw ($(M)!0.5!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(M)!0.5!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \foreach \pt in {A,B,C,M,N,K} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[right] at (M) {$M$};
  \node[above left] at (N) {$N$};
  \node[above right] at (K) {$K$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \item (Државно 2026, VII разред, 3. задатак) Нека су $ABC$ и $DEC$ подударни троуглови, при чему је $\len{AB} = \len{DE}$, $\len{AC} = \len{DC}$, $\len{BC} = \len{EC}$ и важи $\angle CAB = 60^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$, $\angle ACD = 30^\circ$. Дуж $DE$ сече дужи $AB$ и $BC$ редом у тачкама $F$ и $G$, а тачка $M$ је средиште дужи $FG$. Уколико важи $\len{CM} = \sqrt6\,\mathrm{cm}$, израчунај обим и површину троугла $ABC$. (Последњи корак, рачунање дужина из $\len{CM}$, користи Питагорину теорему.)
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.18, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (2.2,3.8);
  \coordinate (D) at (2.2,-0.59);
  \coordinate (E) at (7.39,2.41);
  \coordinate (F) at (3.22,0);
  \coordinate (G) at (4.98,1.02);
  \coordinate (M) at (4.1,0.51);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[] (D) -- (E) -- (C) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (C) -- (M);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (C) -- (F);
  \draw[thick, teal!70!black, dashed] (C) -- (G);
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=B--A--C};
  \pic[draw, angle radius=6.88mm] {angle=C--B--A};
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=A--C--D};
  \pic[draw] {right angle=F--M--C};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,E,F,G,M} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above] at (C) {$C$};
  \node[below] at (D) {$D$};
  \node[right] at (E) {$E$};
  \node[below] at (F) {$F$};
  \node[below right] at (G) {$G$};
  \node[below] at (M) {$M$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\noindent\textit{Решења.}

\noindent\textbf{1.} $\angle QAB = \angle QBA$, па је $\triangle ABQ$ једнакокрак: $\len{QA} = \len{QB}$. Тачка $Q$ је зато на симетрали дужи $AB$.; Симетрала дужи $AB$ у једнакостраничном троуглу пролази кроз $C$ (јер је $\len{CA} = \len{CB}$) и полови угао $ACB$: $\angle ACQ = 30^\circ$.; $\angle CAQ = \angle CAB - \angle QAB = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ = \angle BAP$.; $\triangle ACQ \cong \triangle ABP$ по ставу УСУ: $\len{AC} = \len{AB}$, $\angle CAQ = \angle BAP = 45^\circ$, $\angle ACQ = \angle ABP = 30^\circ$.; Из подударности је $\len{AQ} = \len{AP}$.; \textbf{Решење:} $\len{AP} = \len{AQ}$

\noindent\textbf{2.} $\triangle AMD \cong \triangle BMC$ (СУС: $\len{AM} = \len{MB}$, $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\len{AD} = \len{BC}$), па је $\len{DM} = \len{CM}$.; $\triangle BCM \cong \triangle CDN$ (СУС: $\len{BM} = \len{CN}$ као половине једнаких страница, $\angle B = \angle C = 90^\circ$, $\len{BC} = \len{CD}$), па је $\angle BCM = \angle CDN = x$.; $\angle MCD = 90^\circ - x$, па је у $\triangle CDP$: $\angle CPD = 180^\circ - (90^\circ - x) - x = 90^\circ$. Дакле $CM \perp DN$.; $\triangle DPM$ је правоугли са хипотенузом $DM$, а $Q$ је средиште хипотенузе, па је $\len{PQ} = \tfrac12\len{DM}$ (тежишна дуж на хипотенузу).; $\len{CM} = \len{DM} = 2\len{PQ}$.; \textbf{Решење:} $\len{CM} = 2\len{PQ}$

\noindent\textbf{3.} Нека је $K$ тачка праве $AB$ таква да је $A$ између $K$ и $M$ и $\len{AK} = \len{CN}$.; $\triangle ADK \cong \triangle CDN$ (СУС: $\len{AD} = \len{CD}$, $\angle DAK = \angle DCN = 90^\circ$, $\len{AK} = \len{CN}$), па је $\len{DK} = \len{DN}$ и $\angle ADK = \angle CDN$.; $\len{MK} = \len{MA} + \len{AK} = \len{MA} + \len{CN} = \len{MD}$, па је $\triangle DMK$ једнакокрак.; У правоуглом $\triangle AMD$ је $\angle DMA = 70^\circ$, па је $\angle MDK = \angle MKD = \tfrac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$.; $\angle CDN = \angle ADK = \angle MDK - \angle MDA = 55^\circ - 20^\circ = 35^\circ$.; $\angle MDN = 90^\circ - \angle ADM - \angle CDN = 90^\circ - 20^\circ - 35^\circ = 35^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle MDN = 35^\circ$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.79, every node/.style={font=\small}]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (6,0);
  \coordinate (C) at (6,6);
  \coordinate (D) at (0,6);
  \coordinate (M) at (2.18,0);
  \coordinate (N) at (6,1.8);
  \coordinate (K) at (-4.2,0);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (M);
  \draw[thick, red!70!black] (D) -- (N);
  \draw[thick, teal!70!black] (K) -- (A);
  \draw[thick, teal!70!black] (D) -- (K);
  \draw ($(A)!0.5!(K)!3pt!90:(K)$) -- ($(A)!0.5!(K)!3pt!-90:(K)$);
  \draw ($(C)!0.5!(N)!3pt!90:(N)$) -- ($(C)!0.5!(N)!3pt!-90:(N)$);
  \pic[draw, angle radius=12.5mm] {angle=A--D--M};
  \foreach \pt in {A,B,C,D,M,N,K} \fill (\pt) circle (1.4pt);
  \node[below left] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[above right] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[below] at (M) {$M$};
  \node[right] at (N) {$N$};
  \node[below left] at (K) {$K$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\noindent\textbf{4.} Нека је $M$ средиште странице $BC$. Тада је $\len{AC} = \len{CM} = \len{MB}$.; $\triangle ACM$ је једнакокрак са $\angle ACM = \gamma$, па је $\angle CAM = \angle CMA = 90^\circ - \tfrac{\gamma}{2}$ и $\angle AMB = 180^\circ - \angle CMA = 90^\circ + \tfrac{\gamma}{2}$.; Спољашњи угао код $C$ има меру $180^\circ - \gamma$, а симетрала га дели на два угла по $90^\circ - \tfrac{\gamma}{2}$. Угао $ACE$ састоји се од угла $ACB$ и једног од њих: $\angle ACE = \gamma + 90^\circ - \tfrac{\gamma}{2} = 90^\circ + \tfrac{\gamma}{2} = \angle AMB$.; $\triangle ACE \cong \triangle BMA$ (УСУ: $\len{AC} = \len{BM}$, $\angle CAE = \angle CAD = \angle ABC = \angle MBA$, $\angle ACE = \angle BMA$).; Из подударности следи $\len{AE} = \len{BA}$.; \textbf{Решење:} $\len{AE} = \len{AB}$

\noindent\textbf{5.} Из $\triangle BAD$: $\angle BAD = 180^\circ - 80^\circ - 70^\circ = 30^\circ$.; Нека је $E$ тачка праве $CB$ таква да је $B$ између $C$ и $E$ и $\len{EB} = \len{BA}$. Тада је $\angle ABE = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$, а $\triangle ABE$ је једнакокрак, па је $\angle AEB = \angle EAB = 40^\circ$.; $\angle EAD = \angle EAB + \angle BAD = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ = \angle EDA$, па је $\triangle AED$ једнакокрак: $\len{EA} = \len{ED}$.; $\len{ED} = \len{EB} + \len{BD} = \len{AB} + \len{BD} = \len{AC}$, па је $\len{EA} = \len{AC}$: $\triangle AEC$ је једнакокрак.; $\angle ACB = \angle ACE = \angle AEC = 40^\circ$.; \textbf{Решење:} $\angle ACB = 40^\circ$

\noindent\textbf{6.} Нека је $D$ подножје нормале из $B_1$ на $BC$ и $\len{CC_1} = x$.; $\angle A_1C_1C + \angle B_1C_1D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, а и $\angle A_1C_1C + \angle C_1A_1C = 90^\circ$ (правоугли $\triangle A_1CC_1$), па је $\angle B_1C_1D = \angle C_1A_1C$.; $\triangle CA_1C_1 \cong \triangle DC_1B_1$ (правоугли, хипотенузе $\len{A_1C_1} = \len{C_1B_1}$, једнаки оштри углови), па је $\len{DB_1} = \len{CC_1} = x$ и $\len{DC_1} = \len{CA_1}$.; $\triangle DB_1B$ је правоугли са $\angle B = 45^\circ$, па је једнакокрак: $\len{DB} = \len{DB_1} = x$.; $\len{AA_1} = \len{AC} - \len{CA_1} = \len{BC} - \len{DC_1} = \len{DB} + \len{CC_1} = 2x$.; \textbf{Решење:} $\len{AA_1} = 2\len{CC_1}$

\noindent\textbf{7.} Нека је $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$, $\angle ADE = \angle AED = \beta$ (јер је $\len{AE} = \len{AD}$) и $\angle CDE = x$.; $\angle ADC$ је спољашњи угао $\triangle ABD$: $\angle ADC = \alpha + 2020'$. С друге стране, $\angle ADC = \beta + x$.; $\angle AED$ је спољашњи угао $\triangle CDE$: $\beta = x + \alpha$.; $\alpha + 2020' = (x + \alpha) + x$, па је $2x = 2020'$, тј. $x = 1010' = 16^\circ 50'$.; \textbf{Решење:} $\angle CDE = 1010' = 16^\circ 50'$

\noindent\textbf{8.} $AD \parallel BC$, па је $\angle DEC = \angle ECB$ (наизменични углови), а $\angle ECB = \angle ECD$ јер је $CE$ симетрала угла $BCD$. Дакле $\angle DEC = \angle DCE$: $\triangle DCE$ је једнакокрак, $\len{DE} = \len{DC}$.; $\len{DE} = \len{DC} = \len{AB} > \len{AD}$, па је $E$ на продужетку странице $DA$ преко $A$: $\len{DE} = \len{DA} + \len{AE} = \len{DA} + 5$.; Обим: $2(\len{CD} + \len{DA}) = 2(2\len{DA} + 5) = 50$, па је $\len{DA} = 10\,\mathrm{cm}$ и $\len{CD} = 15\,\mathrm{cm}$.; \textbf{Решење:} $\len{AD} = \len{BC} = 10\,\mathrm{cm}$, $\len{AB} = \len{CD} = 15\,\mathrm{cm}$

\noindent\textbf{9.} Нека је $\angle ACB = \gamma$ и нека права $BM$ сече дуж $CN$ у тачки $K$ ($M$ је између $B$ и $K$).; $\angle NMB = \angle AMB = 2\gamma$ је спољашњи угао $\triangle KMN$ код $M$, па је $\angle NKM = 2\gamma - \angle KNM = 2\gamma - \gamma = \gamma$. Дакле $\triangle KMN$ је једнакокрак: $\len{MK} = \len{MN}$.; Нека је $\angle BCK = x$. У $\triangle CAN$ је $\angle ACN = \gamma - x$ и $\angle CNA = 180^\circ - \gamma$, па је $\angle CAN = 180^\circ - (180^\circ - \gamma) - (\gamma - x) = x$.; $\angle CKB = 180^\circ - \angle NKM = 180^\circ - \gamma = \angle CNA$.; $\triangle BCK \cong \triangle CAN$ (УСУ: $\len{BC} = \len{CA}$, $\angle BCK = \angle CAN = x$, $\angle CKB = \angle ANC$), па је $\len{CN} = \len{BK} = \len{BM} + \len{MK} = \len{BM} + \len{MN}$.; \textbf{Решење:} $\len{CN} = \len{BM} + \len{MN}$

\noindent\textbf{10.} Из подударности: $\angle CDE = \angle CAB = 60^\circ$, $\angle DEC = \angle ABC = 45^\circ$, $\angle ACB = \angle DCE = 75^\circ$.; $\len{CA} = \len{CD}$ и $\angle ACD = 30^\circ$, па је $\angle CAD = \angle CDA = 75^\circ$. Нека је $H = CD \cap AB$: у $\triangle CAH$ је $\angle CAH = 60^\circ$ и $\angle ACH = 30^\circ$, па је $\angle AHC = 90^\circ$, тј. $CD \perp AB$. У правоуглом $\triangle HFD$ је $\angle HDF = 60^\circ$, па је $\angle AFD = \angle HFD = 30^\circ$.; $\angle DCB = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ$, па је $\angle BCE = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$. Из $\len{BC} = \len{EC}$ следи $\angle CBE = \angle CEB = 75^\circ$, па је $\angle BEG = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.; У $\triangle BEF$ је $\angle BFE = \angle AFD = 30^\circ = \angle BEF$, па је $\len{BE} = \len{BF}$. У $\triangle BEG$ је $\angle EGB = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ = \angle EBG$, па је $\len{BE} = \len{GE}$.; $\triangle CFB \cong \triangle CGE$ (СУС: $\len{CB} = \len{CE}$, $\len{BF} = \len{BE} = \len{GE}$, $\angle CBF = \angle CEG = 45^\circ$), па је $\len{CF} = \len{CG}$: $\triangle CFG$ је једнакокрак, а $M$ средиште основице, па је $CM \perp DE$.; $\triangle CME$ је правоугли са $\angle CEM = 45^\circ$, па је $\len{ME} = \len{CM} = \sqrt6$ и (Питагора) $\len{CE} = \sqrt{6 + 6} = 2\sqrt3$. $\triangle CMD$ је правоугли са $\angle CDM = 60^\circ$, дакле половина једнакостраничног троугла: $\len{CD} = 2\len{DM}$, па из $\len{CD}^2 = \len{DM}^2 + 6$ следи $\len{DM} = \sqrt2$ и $\len{CD} = 2\sqrt2$.; $\len{DE} = \len{DM} + \len{ME} = \sqrt2 + \sqrt6$. Обим: $\len{DE} + \len{EC} + \len{CD} = 3\sqrt2 + 2\sqrt3 + \sqrt6$. Површина: $\tfrac12 \len{DE} \cdot \len{CM} = \tfrac12(\sqrt2 + \sqrt6)\sqrt6 = \tfrac12(2\sqrt3 + 6) = 3 + \sqrt3$.; \textbf{Решење:} $O = (3\sqrt2 + 2\sqrt3 + \sqrt6)\,\mathrm{cm}$, $P = (3 + \sqrt3)\,\mathrm{cm}^2$


\end{document}